Matematyka.pl

Dzień dobry.
Mam za zadanie obliczyć kąt między płaszczyznami. Korzystając ze wzoru na cosinus kąta wyszło mi 2.
Oto moje płaszczyzny:
\(\displaystyle{ H_{1} : z - 4 = 0}\)
\(\displaystyle{ H_{2} : \sqrt{3}y + z + 5 = 0}\)
Ta pierwsza wygląda jak zbiór punktów na osi z i z rysunku wynika, że leży ona w płaszczyźnie tej drugiej płaszczyzny...
Co teraz?

Ta pierwsza to równoległa do płaszczyzny XOY zawieszona w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,4)}\)

Wektory normalne tych płaszczyzn to:\(\displaystyle{ \left[ 0,0,1\right] i\left[ 0, \sqrt{3},1 \right]}\)
Kąt między płaszczyznami jest równy kątowi między ich normalnymi. Łatwo to wyliczyć z iloczynu wektorowego:
\(\displaystyle{ \vec{n _{1} } \circ \vec{n _{2} }= \left| \vec{n _{1} }\right| \cdot \left| \vec{n _{2} }\right| \cdot \cos \alpha =x _{1} x _{2} +y _{1} y _{2} +z _{1} z _{2}}\)
U Ciebie:
\(\displaystyle{ \sqrt{1} \sqrt{4}\cos \alpha =0 \cdot 0+0 \cdot \sqrt{3}+1 \cdot 1}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{3} \vee \alpha =- \frac{ \pi }{3}}\)

Dziękuję bardzo Ja skorzystałam z wzoru \(\displaystyle{ \frac{|AA + BB + CC|}{ \sqrt{A ^{2} + B ^{2}+ C^{2}} \sqrt{A ^{2} + B ^{2}+ C^{2}} }}\). Chyba jest nieprawidłowy w takim razie.

EDIT: Aaaa źle podstawiałam Ten wzór działa, wychodzi 1/2.
Pozdrawiam

Drobna poprawka: ten iloczyn to nie wektorowy tylko skalarny!

henryk pawlowski oczywiście ma rację. Dzięki za czujność.


Twój wzór to ten sam co ja zastosowałem. Jednak nie powinno w nim być wrtości bezwględnej
\(\displaystyle{ \cos \left\{ \angle \left( \pi _{1}, \pi _{2}\right)\right\}= \frac{A _{1} A_{2} + B_{1}B_{2} + C_{1}C_{2}}{ \sqrt{A_{1} ^{2} + B_{1} ^{2}+ C_{1}^{2}} \sqrt{A_{2} ^{2} + B_{2} ^{2}+ C_{2}^{2}} }}\).

kerajs pisze:Jednak nie powinno w nim być wrtości bezwględnej

Kąt pomiędzy ustalonymi wektorami normalnymi może być rozwarty, ale przez kąt pomiędzy płaszczyznami rozumiemy kąt ostry (lub prosty).

Komentarz norwimaj nie podważa uzytego cytatu. We wzorze nie ma wrtości bezwględnej.

Jeśli to ma być wzór na kosinus kąta pomiędzy płaszczyznami, to powinna być wartość bezwzględna. Przecież wynik nie powinien zależeć od tego, jaki zwrot wektora normalnego wybrałeś.

kerajs pisze:Ta pierwsza to równoległa do płaszczyzny XOY zawieszona w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,4)}\)

Hmm... Jakoś nie umiem sobie tego wyobrazić... Jak sie to narysuje to widac, ze x i y też rosną, że są jakieś x i y, które nie są równe 0. Chyba, że czegoś nie rozumiem?

A plaszczyznę \(\displaystyle{ z=0}\) umiesz sobie wyobrazić? To teraz ją przesun w górę, tak, żeby przechodziła przez \(\displaystyle{ (0,0,4)}\)

Jak jest wzor na plaszczyzne \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\) to mamy jakies punkty. I zastanawia mnie wlasnie to, ze w zasadzie kazdy punkt na plaszczyznie spelnia to rownanie (\(\displaystyle{ z - 4 = 0}\)). Czyli punkt \(\displaystyle{ (1,2,4)}\) tez i tak dalej... No i co teraz z tym wzorem na plaszczyne?

mooniika pisze:Jak jest wzor na plaszczyzne \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\) to mamy jakies punkty.

Możesz wyjaśnić, co po polsku znaczy to zdanie?

ze w zasadzie kazdy punkt na plaszczyznie spelnia to rownanie (\(\displaystyle{ z - 4 = 0}\))

na jakiej płaszczyźnie? Nie każdy punkt W PRZESTRZENI spełnia to równanie (np. \(\displaystyle{ (7,1,1)}\)).

No i co teraz z tym wzorem na plaszczyne?

A co ma być z tym wzorem? Jest, i już. Punkty, które leżą w płaszczyznie opisanej tym wzorem spełniają równanie

Chodziło mi w zasadzie o to, że jak mamy płaszczyzne \(\displaystyle{ z - 4 = 0}\) to po prostu bierzemy sobie pod uwagę tylko z. Zastanawiało mnie to, co się dzieje z tym wzorem \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\) jak punkt jest inny niż \(\displaystyle{ (0,0,4)}\), ale jest jeszcze przecież współczynnik D i tam x i y nic już nie zmienia. W każdym razie rozumiem to już.