Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int(x^2+x+1)^2\dd x}\) Proszę o pomoc , ta całka wydaje się taka prosta , a dla mnie jest nie do przejścia . Straciłam już głowę ;x

Nie jestem pewien, jak to wyrażenie tam interpretować, ale po tym, że piszesz, że całka jest nieoznaczona, powoli się domyślam... tylko dalej nie widzę problemu. Podstawowe pytanie: ile wiesz o całkach?

Bierzesz to coś pod całką do kwadratu, dostajesz jakiś wielomian 4 stopnia. Dla każdego wyrazu liczysz całkę osobno i po problemie.

Interpretuję to... coś jako:

\(\displaystyle{ \int(x^2+x+1)^2 \mbox{d}x}\)

Można przez części

\(\displaystyle{ \int(x^2+x+1)^2\dd x=\int{\left( \left( x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4} \right)^2 \mbox{d}x }\\
\int(x^2+x+1)^2\dd x=\left( x+\frac{1}{2}\right)\left( x^2+x+1\right)^2-4\int{\left(x+\frac{1}{2} \right)^2\left( x^2+x+1\right) }\\
\int(x^2+x+1)^2\dd x=\left( x+\frac{1}{2}\right)\left( x^2+x+1\right)^2-4\int{\left( \left( x+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{3}{4}-\frac{3}{4} \right)\left( x^2+x+1\right) \mbox{d}x }\\
5\int(x^2+x+1)^2\dd x=\left( x+\frac{1}{2}\right)\left( x^2+x+1\right)^2+3\int{\left( x^2+x+1\right) \mbox{d}x } \\
\int{\left( x^2+x+1\right) \mbox{d}x}=\left( x+\frac{1}{2}\right)\left( x^2+x+1\right) -2\int{\left( x+\frac{1}{2}\right)^2 \mbox{d}x }\\
\int{\left( x^2+x+1\right) \mbox{d}x}=\left( x+\frac{1}{2}\right)\left( x^2+x+1\right) -2\int{\left( x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}-\frac{3}{4} \mbox{d}x }\\
3\int{\left( x^2+x+1\right) \mbox{d}x}=\left( x+\frac{1}{2}\right)\left( x^2+x+1\right)+\frac{3}{2}x\\
5\int(x^2+x+1)^2\dd x=\left( x+\frac{1}{2}\right)\left( x^2+x+1\right)^2+\left( x+\frac{1}{2}\right)\left( x^2+x+1\right)+\frac{3}{2}x\\
\int(x^2+x+1)^2\dd x=\frac{1}{5}\left(\left( x+\frac{1}{2}\right)\left( x^2+x+1\right)^2+\left( x+\frac{1}{2}\right)\left( x^2+x+1\right)+\frac{3}{2}x \right)+C}\)