Matematyka.pl

Znalazłem już parę takich zadań z prawdopodobieństwa o tych nieszczęsnych wagonach ale nie moge tego pojąć za nic.

2. Pieciu pasazerow wsiada do pustego tramwaju zlozoneg z trzech wagonow, przy czym kazdy wybiera losowo wagon. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze każdy wagon będzie zajęty?

Odp: \(\displaystyle{ \frac{2}{9}}\) ?

Nie mam odpowiedzi do tego zadania, a chodzi mi głównie nie o wynik ale o sposób rozwiązania wraz z wytłumaczeniem wmiarę dokładnym bo za nic nie moge tego rodzaju zadań pojąć.

Według mnie można to rozwiązać regułą mnożenia:
3*3*3*3*3 - każdy z piątki ludzi może sobie wybrać jeden z 3 wagonów = 243
3*3*3*2*1 - trzech pierwszych może wsiąść do wagonu którego chce i "przyjmijmy" że wsiądą do 1 i żeby mieć pewność że ktoś wsiądzie do 2 i 3 druga osoba może wybrać z 2 wagonów a trzecia tylko z jednego = 54
\(\displaystyle{ \frac{54}{243} = \frac{2}{9}}\)

Ale wolałbym żeby ktoś to przeanalizował czy to dobre rozwiązanie.

Raczej policzyłabym to przez prawdopodobieństwo odwrotne.
prawdopodobieństwo, że wszyscy zajmą 1 wagon : \(\displaystyle{ \frac{3}{3^5}}\)
prawdopodobieństwo, że wszyscy zajma 2 wagony: \(\displaystyle{ \frac{3\cdot 2^5-3}{3^5}}\)
(tu: losowo wybieramy dwa wagony spośród trzech -> 3 sposoby, usadzamy w nich 5 osób i odejmujemy możliwość, że wszyscy są w jednym)
czyli
\(\displaystyle{ P(A)=1-\frac{2^5}{3^4}=\frac{49}{81}}\)

Hmmm moim zdaniem Ziggurad ma racje. Po co sobie utrudniać. mgd wynik ci wyszedł inny wiec cos jest źle!

zapewne którys z naszych wyników jest nieprawidłowy, skoro sa dwa rózne.

luka w rozumowaniu powyżej:
jeśli liczymy zdarzenia sprzyjajace to mamy 3*3*3*2*1 sposobów.
2 i 1 są aby na pewno były w pozostałych dwóch wagonach jakies osoby, jesli pierwsze 3 trafia do jednego. A co jesli juz pierwsze 3 trafiły do 3 różnych? czemu wtedy czwartej i piatej osobie ograniczac wybór?

Moim zdaniem wtedy inaczej się rozłożą miejsca zajmowania w wagonach przez te osoby, ale liczba kombinacji się nie zmieni. Jak się mylę to może niech ktoś to jakoś udowodni ;p