Liczba pierwsza
: 7 maja 2014, o 18:57
Udowodnij, że jeśli liczba \(\displaystyle{ a ^{n} + 1}\) jest pierwsza i \(\displaystyle{ a > 1}\), \(\displaystyle{ a, n \in C^{+}}\), to \(\displaystyle{ n}\) jest potęgą dwójki. Prosiłbym o sprawdzenie czy prawidłowy tok rozumowania :
Załóżmy przeciwnie, że liczba \(\displaystyle{ a^{n} + 1}\) jest pierwsza i liczba \(\displaystyle{ n}\) nie jest potęgą dwójki, wtedy istnieją takie liczby \(\displaystyle{ p \in N \wedge q \in C ^{+}}\), że \(\displaystyle{ n = 2 ^{p}q}\), gdzie \(\displaystyle{ q}\) - liczba nieparzysta i \(\displaystyle{ q \ge 3}\). Mamy wtedy, że \(\displaystyle{ a ^{n} + 1 = a ^{n} + 1 ^{n} = a ^{2 ^{p}q } + 1 ^{2 ^{p}q } = a ^{(2 ^{p})q } + 1 ^{(2 ^{p})q }.}\)Podstawiając do wzoru \(\displaystyle{ x ^{r} + y ^{r}= (a+b)(a ^{r-1}- ... + b ^{r-1})}\) prawdziwego dla każdej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ r}\) kolejno \(\displaystyle{ x = a ^{2 ^{p} }, y=1 ^{2 ^{p} }, r=q}\) mamy, że \(\displaystyle{ a ^{n} + 1 = (a ^{2 ^{p} }+1)(a ^{2 ^{p}-1 }- ... + 1)}\) teraz wystarczy zauważyć, że z założeń każdy z nawiasów jest większy od \(\displaystyle{ 1}\) stąd otrzymujemy sprzeczność, co dowodzi tezy.
Załóżmy przeciwnie, że liczba \(\displaystyle{ a^{n} + 1}\) jest pierwsza i liczba \(\displaystyle{ n}\) nie jest potęgą dwójki, wtedy istnieją takie liczby \(\displaystyle{ p \in N \wedge q \in C ^{+}}\), że \(\displaystyle{ n = 2 ^{p}q}\), gdzie \(\displaystyle{ q}\) - liczba nieparzysta i \(\displaystyle{ q \ge 3}\). Mamy wtedy, że \(\displaystyle{ a ^{n} + 1 = a ^{n} + 1 ^{n} = a ^{2 ^{p}q } + 1 ^{2 ^{p}q } = a ^{(2 ^{p})q } + 1 ^{(2 ^{p})q }.}\)Podstawiając do wzoru \(\displaystyle{ x ^{r} + y ^{r}= (a+b)(a ^{r-1}- ... + b ^{r-1})}\) prawdziwego dla każdej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ r}\) kolejno \(\displaystyle{ x = a ^{2 ^{p} }, y=1 ^{2 ^{p} }, r=q}\) mamy, że \(\displaystyle{ a ^{n} + 1 = (a ^{2 ^{p} }+1)(a ^{2 ^{p}-1 }- ... + 1)}\) teraz wystarczy zauważyć, że z założeń każdy z nawiasów jest większy od \(\displaystyle{ 1}\) stąd otrzymujemy sprzeczność, co dowodzi tezy.