Matematyka.pl

Zbadaj, czy wielomiany
\(\displaystyle{ f1= x^{2}-1}\)
\(\displaystyle{ f2= x-1}\) ,
\(\displaystyle{ f3=x^{2}+x+1}\)
tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\) Jeśli tak, wskaż macierz przejścia z bazy standardowej do tej bazy i wyznacz współrzędne wektora \(\displaystyle{ g=3x^{2} +3}\) w nowej bazie.

Przez izomorfizm można utożsamić przestrzeń \(\displaystyle{ \RR_2[x]}\) z przestrzenią \(\displaystyle{ \RR^3}\) - wystarczy potraktować wielomian jako uporządkowaną trójkę jego kolejnych współczynników.

Może ten "zabieg" Ci pomoże.

niestety nie pomógł, chciałbym zobaczyć rozwiązanie, tego lub innego podobnego przykładu. Na tą chwilę nie ogarniam nic ;(

Zrob to co napisał kolega i wyjdzie Ci macierz trzy na trzy. Musisz zbadać wyznacznik tej macierzy

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\0&1&-1\\1&1&1\end{array}\right]}\)
więc wyznacznik tego
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&0&-1\\0&1&-1\\1&1&1\end{array}\right|=3 \neq 0}\)

CO zatem możemy powiedzieć o tych trzech wektorach?

są liniowo niezależne
edit
i tworzą bazę (z tw Steinitza)

No to masz odpowiedz na pierwsze pytanie

Macierz przejscia teraz

hmmmmm
mamy macierz taką :
\(\displaystyle{ p=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&1\\-1&-1&1\end{array}\right]}\)

A skąd taką macierz masz? Pokaż jak liczysz

a to w takim razie źle, bo przepisałem z wielomianów współczynniki do kolumn. W tym zadaniu bede robil pierwszy raz przejście, mam definicję przed sobą, ale nie za bardzo do mnie przemawia

Jaką masz zatem definicję? I co tam jest niejasnego ?

MAcierza przejscia z bazy B do B' w przestrzeni lin V(K) nazywamy macierz \(\displaystyle{ P \in M_{n x n} (K)}\)taką, że dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ v=[ \alpha_{1},\alpha_{3},...,\alpha_{n}]=[\alpha^{'} _{1},\alpha^{'} _{2},...,\alpha^{'} _{n}]}\) mamy
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\alpha^{'} _{1}\\...\\\alpha^{'} _{n}\end{array}\right]= p^{-1}\left[\begin{array}{ccc}\alpha _{1}\\...\\\alpha _{n}\end{array}\right]}\)

No i jak z tego wyznaczyłeś \(\displaystyle{ P}\)?

no ja
\(\displaystyle{ f1= x^{2}-1}\)
\(\displaystyle{ f2= x-1}\) ,
\(\displaystyle{ f3=x^{2}+x+1}\)

Zapsiałem pierwszy wielomian w pierwszej kolumnie, drugi w drugiej, trzeci w trzeciejj
\(\displaystyle{ p=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&1\\-1&-1&1\end{array}\right]}\)