Metoda rozdzielenia zmiennych

[hubertwojtowicz]

Mam rozwiązać równanie met. rozdzielenia zmiennych Fouriera:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
u_{xx}- \frac{1}{9}u_{tt}=0 ; x \in \left( 0,2 \right) ;t>0 \\
u \left( 0,t \right) =u \left( 2,t \right) =0 \\
u \left( x,0 \right) =\left| 1-x \\
u_t \left( x,0 \right) =3\sin \left( 2\pi x \right) + \sin \left( \frac{7}{2} \pi x \right) \right| \end{cases}}\)

Dostaję:
\(\displaystyle{ u \left( x,t \right) =X \left( x \right) T \left( t \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{X''}{X}= \frac{T''}{9T}=-\lambda ^2}\)
\(\displaystyle{ \lambda_n= \frac{\pi n}{2}}\)
\(\displaystyle{ X \left( x \right) = C \cdot \sin \left( \frac{n \pi x}{2} \right)}\)

Później rozwiązuję równanie
\(\displaystyle{ T''+9\lambda^2T=0}\)
i co mnie dziwi, to dlaczego w rozwiązaniu:
\(\displaystyle{ T \left( t \right) = A_n \cos \left( \frac{3 \pi n t}{2} \right) + B_n \sin \left( \frac{3 \pi n t}{2} \right)}\)
stałe \(\displaystyle{ A_n; B_n}\) muszą być uzależnione od zmiennej "n"?

[miodzio1988]

Od tego \(\displaystyle{ X}\) zacznijmy

Rozwiązanie mamy takie:

\(\displaystyle{ X \left( x \right) = C \cdot \sin \left( \frac{n \pi x}{2} \right)}\)

Ale tak naprawdę dostajemy ciąg rozwiązań więc zapisujemy to tak:

\(\displaystyle{ X_{n} \left( x \right) = C_{n} \cdot \sin \left( \frac{n \pi x}{2} \right)}\)

Z \(\displaystyle{ T}\) ( czy tam \(\displaystyle{ T_{n}}\) ) działamy analogicznie