Matematyka.pl

Wyznaczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
\(\displaystyle{ z=0 , z= x^2-y^2-5 , x^2+y^2=2x}\)
przy czym chodzi o obszar znajdujący się wewnątrz walca.

postanowiłem skorzystać z współrzędnych walcowych

\(\displaystyle{ x= r \cos \phi}\)
\(\displaystyle{ y= r \sin \phi}\)
\(\displaystyle{ z=z}\)

i teraz nie jestem pewny czy zakres zmiennych dobrze ustaliłem, otóż:

\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \phi \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ r^2-5 \le z \le 0}\)

czy to jest dobrze?

Troszkę trzeba zmienić.
Twoim obszarem całkowania jest okrąg:
\(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} =2x}\)
który po wstawieniu współrzędnych walcowych przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ r ^{2}=2r \cos \phi}\)
\(\displaystyle{ r=2 \cos \phi}\)
Skoro z rysunku odzczytujesz że :\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2}\) to należy wyliczyć jak zmienia się kąt:
\(\displaystyle{ 0 \le 2 \cos \phi \le 2}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \cos \phi \le 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{- \pi }{2} \le \phi \le \frac{ \pi }{2}}\)
I pomyliłeś się w podstawieniu za zmienną ,,z'
\(\displaystyle{ r ^{2}\cos 2\phi - 5 \le z \le 0}\)

Można tez zastosować inne podstawienie:
\(\displaystyle{ x=1+r\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ y= r\sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ z=z}\)
\(\displaystyle{ J=r}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 1}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ r ^{2}\cos 2 \alpha - 2 r \cos \alpha -4\le z \le 0}\)