Matematyka.pl

Mam za zadanie obliczyć całkę Riemanna \(\displaystyle{ \int_{1}^{2} \frac{dx}{x}}\) z definicji dzieląc przedział \(\displaystyle{ [1,2]}\) tak aby współrzędne punktów podziału tworzyły ciąg geometryczny. Dla podziału na równe części dałem radę, ale dla wymaganego w zadaniu nie wiem jak w ogóle zapisać sumę całkową.

Napiszę moje wypociny,
Wezmę prosty ciąg geometryczny.
\(\displaystyle{ a^n}\), wiem, że \(\displaystyle{ a^0=1,a^{n}=2}\), stąd wnioskujemy, że \(\displaystyle{ a=2^{\frac{1}{n}}}\).
Natomiast długość odpowiednich przedziałów wynosiłaby: \(\displaystyle{ 2^{\frac{k+1}{n}}-2^{\frac{k}{n}}}\).
Za wysokości bierzemy te wartości dla naszych współrzędnych, mamy więc taki szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \left( \frac{1}{2^{\frac{k}{n}}}\right) \left(2^{\frac{k+1}{n}}-2^{\frac{k}{n}} \right) =\sum_{k=1}^n\left(2^{\frac{1}{n}}-1 \right) =n\left(2^{\frac{1}{n}}-1 \right)}\)
Pozostaje więc policzyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{2^x-1}{x}}\)
Swoją drogą ciekawią mnie twoje obliczenia dla równego podziału...

Przepraszam, źle się wyraziłem, chodziło mi o to, że dla równego podziału potrafię zapisać sumę całkową.

Celowo podali ten podział by dało się to policzyć. Przyznam, że trochę też musiałem pogłówkować, żeby to poskładać.

Bardzo dziękuję!-- 18 kwi 2014, o 18:47 --Jedna mało znacząca uwaga. Chyba w górnej granicy sumowania w pierwszej sumie powinno być \(\displaystyle{ n-1}\).

pyzol pisze:Swoją drogą ciekawią mnie twoje obliczenia dla równego podziału...

W zbiorze Bermana tą całkę należy w dwóch różnych zadaniach policzyć z definicji: jak wyżej z użyciem ciągu geometrycznego oraz z podziałem na równe części. Więc chyba z podziałem na równe części powinno się dać? Chociaż nie próbowałem.

jezarek pisze: W zbiorze Bermana tą całkę należy w dwóch różnych zadaniach policzyć z definicji: jak wyżej z użyciem ciągu geometrycznego oraz z podziałem na równe części. Więc chyba z podziałem na równe części powinno się dać? Chociaż nie próbowałem.

Przyjrzyj się dokładniej poleceniom tych dwóch zadań w Bermanie. W pierwszym jest żeby obliczyć całkę dzieląc przedział w taki sposób, aby punkty tworzyły ciąg geometryczny, a w drugim żeby utworzyć sumę całkową dzieląc przedział na równe części i korzystając z wyniku pierwszego zadania obliczyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n}\right)}\). Także nie jest napisane żeby wyznaczać całkę dzieląc przedział na równe części.

A co do indeksów to tak, coś tam delikatnie namieszałem

Ale jakby ktoś potrafił to ja bym chętnie zobaczył...

Tak zwracam honor, jest troszkę inna treść zadania. Czyli z równym podziałem zrobić się tego nie da?