Matematyka.pl

Punkty \(\displaystyle{ A(-3,-2)}\) i \(\displaystyle{ C(5,2)}\) są przeciwległymi wierzchołkami rombu \(\displaystyle{ ABCD}\), którego bok ma długość \(\displaystyle{ 5}\). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.
Poprawna odpowiedź: \(\displaystyle{ B(2,-2)}\) i \(\displaystyle{ D(0,2)}\)

Obliczyłem długość przekątnej AC, potem z Pitagorasa odległość tej przekątnej od wierzchołka B i chciałem ułożyć dwa równania: jeden na odległość punktu B od prostej AC (wyszła mi ona \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)), a drugi na długość odcinka AB (który wynosi 5). Jednak wychodzą mi kwadraty obu zmiennych, których nie ma jak skrócić. Jak więc zrobić to zadanie?

Xeoxer, ? Przecież jeśli masz już dwa przeciwległe wierzchołki i wiesz, że romb ma ma dwie pary równoleglych boków to wystarczy pozostać na tej samej współrzędnej igrekowej(na tym samym poziomie) i przesunąć współrzędną iksową o pięć. Bo taką długość ma bok. I to samo z drugim wierzchołkiem.



A jeśli nie chcesz rysować i chcesz zrobić to inaczej to można zrobić tak: Masz przekątną. Znasz jej dwa końce. Możesz więc napisac równanie prostej przechodzącej przez tą przekątną. Dalej., możesz wyznaczyć środek przekątnej- elementarna sprawa. Wiesz, że przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym. Chcemy narysować drugą przekątną. Mamy punkt przez który musi ona przechodzić(środek przekątnej) i mamy współczynnik kierunkowy - odwrotny i przeciwny do współczynnika kierunkowego prostej, którą wyznaczyliśmy przed chwilą. Mamy już prostą. Teraz korzystamy ze wzorku na długość odcinka. Liczymy długość przekątnej. Wiemy, że przekątne przecinają się równo w połowie. Stąd łatwo wyliczyć długość połowy przekątnej. Korzystaj z podstawowego wzoru an długość odcinka między dwoma punktami możesz już wyliczyć współrzędne pozostałych wierzchołków. Jasne?

Przecież jeśli masz już dwa przeciwległe wierzchołki i wiesz, że romb ma ma dwie pary równoleglych boków to wystarczy pozostać na tej samej współrzędnej igrekowej(na tym samym poziomie) i przesunąć współrzędną iksową o pięć. Bo taką długość ma bok. I to samo z drugim wierzchołkiem.

To rozwiązanie zakłada, że romb jest położony w układzie współrzędnych tak, że para boków równoległych jest równoległa również do osi \(\displaystyle{ OX}\), ale tak wcale nie musi być, przecież romb może być położony inaczej w układzie współrzędnych i wtedy jak przesuniesz współrzędną \(\displaystyle{ x}\) o pięć to otrzymasz punkt poza rombem. Można by tak zrobić, gdybyśmy wiedzieli, że któryś z boków rombu jest równoległy do osi \(\displaystyle{ OX}\).