Matematyka.pl

Rzucamy 10 rozróżnialnymi monetami. Gdy wypadnie 1 lub 8 reszek wygrywamy. Jak 0 - przegrywamy. W pozostałych przypadkach rzucamy ponownie (1 lub 8 - wgrana, 0 - przegrana, inaczej - znowu rzucamy i tak dalej). Oblicz prawdopodobieństwo wygranej.


\(\displaystyle{ P(X=1) + P(X=8) = {10 \choose 1}p ^{1} (1-p) ^{10-1} + {10 \choose 8}p ^{1} (1-p) ^{10-8}}\)
\(\displaystyle{ p= \frac{( {10 \choose 1} ) + ( {10 \choose 8} )}{(2 ^{10} )}}\)

Nie czuję tego schematu, dobrze jest rozwiązane to zadanie?

czyli można sprowadzić to do trzech przypadków:

I) wyrzucamy 1 lub 8, czyli wygrywamy
II) wyrzucamy 0, czyli przegrywamy
III) wyrzucamy inną liczbę reszek, czyli powtarzamy.

To znaczy, że nigdy nie możemy skończyć na sytuacji III, więc tak czy siak, musimy wybrać sytuację I lub II.
Czyli to tak, jakby nigdy nie można było otrzymać sytuacji trzeciej. Za każdym razem zaczynamy tak jakby od zera, a poprzedni wynik się nie liczy.

Zatem jedyne, co trzeba policzyć, to ile jest sytuacji, kiedy mamy 1 lub 8 reszek.
Zatem można wybrać 1 na \(\displaystyle{ \binom{10}{1}}\) sposobów i do tego 8 na \(\displaystyle{ \binom{10}{8}}\) sposobów.
\(\displaystyle{ \Omega}\) chyba też dobrze.

Bo jeśli dobrze rozumiem, to nie interesuje nas prawdopodobieństwo wygranej za pierwszym podejściem?

Ok, zrobiłam nieskończonym drzewkiem i wysumowałam z szeregu geometrycznego. W przybliżeniu 0.98

Można też bez sumy ciągu geonetrycznego:
\(\displaystyle{ \Omega}\) - ilość zdarzeń kończących grę w każdej serii
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = {10 \choose 0} +{10 \choose 1} +{10 \choose 8}}\)
A- ilość wygranych w danej serii rzutów.
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = {10 \choose 1} +{10 \choose 8}}\)

\(\displaystyle{ P\left( A\right) = \frac{\overline{\overline{A}} }{ \overline{\overline{\Omega}} }= \frac{55}{56}}\)