Matematyka.pl

Witam

Jestem w trakcie tworzenia modelu matematycznego dzwigni zrownowazonej i pojawil sie po drodze pewien problem.



Chodzi o to ze gdy takie wahadlo zostanie na przyklad palcem wyprowadzone na chwile ze stanu rownowagi to potem oscylacyjnie do niego wraca. Moje pytanie dotyczy tego skad bierze sie sila ktora powoduje powrot ze stanu na rysunku do punktu rownowagi. Bede wdzieczny za wszelkie sugestie.

Pozdrawiam

Przy tak położonych choć nieruchomych względem belki jednakowych masach kulek (nad belką) belka, wahadła wychylona z położenia równowagi ( poziomego) nie wróci do niego. Ten stan jest stanem równowagi chwiejnej.
W.Kr.

Środek ciężkości odgrywa istotną rolę w równowadze ciał podpartych.
Zachodzi rownowaga ciała podpartego, jeżeli kierunek siły ciężkości " G" ciała przechodzi przez punkt podparcia "0".
/Siła ciężkości G zaczepiona jest w środku ciężkości ciała. Na rys.to punkt S,S'/
............................................................................................................
1.Przypadek równowagi stałej, gdy środek ciężkości S znajduje się poniżej puktu podparcia 0.
Ciężar ciała G i reakcja podparcia R leżą na wspólnej prostej i zachodzi zależność G=R./Rys.A/
Jeżeli wychylimy ciężar(ciało) z położenia równowagi, to środek ciężkości przesuwa się do punktu S',wyzej od pukntu S. Pojawia sie para sił G i R/rys.B/, która obraca ciało w kierunku pierowtnego położenia. Wartośc momentu pary sił jest równa M=Gr.
Środek ciężkości S' wraca do położenia poprzedniego S, który jest położeniem najniższym z możliwych.
Uogólniając ciało po otrzymaniu małego zasobu energii kinetycznej np. małego pchnięcia porusza się w małej odległości od pierwotnego położenia i jego energia kinetyczna nie wzrasta!
Opisana równowaga nazywana jest równowagą trwałą lub stałą.
2.Przypadek równowagi chwiejnej, gdy środek ciężkości S znajduje się powyżej punktu podparcia 0.
Para sił G i R wywołuje obrót, w którego wyniku ciało oddala się od położenia równowagi.
Ciało po otrzymaniu małej energii kinetycznej coraz to bardziej oddala się od położenia pierwotnego.

3.Przypadek równowagi obojętnej, gdy środek ciężkości S znajduje się w punkcie podparcia 0
Układ sił się nie zmienia(nie powstaje para sił-siły G i rRna wspólnej prostej), takie ciało zawsze znajduje się w położeniu równowagi.
...................
Jeżeli to praca dyplomowa, to wydaje się niezbędne zapoznanie się elementami mechaniki analitycznej- kryterium Lagrang'ea-Dirichelta dotyczące stateczności równowagi układu.

Stany równowagi belki z szalkami zawieszonymi na nożowych oporach w zależności od wysokości podparcia belki.

Założenia i oznaczenia;
Środek ciężkości belki S leży poniżej punktu podparcia - równowaga trwała
Długości belki- ramion dźwigni jednakowe - l
Obciążniki dzwigni P i F bliskie co do wartości.
G- ciężar belki
R- reakcja w punkcie podparcia
k- odległość środka ciężkości od punktu podparcia
.............................................
1.Jeżeli F> P belka wychyli się o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\),środek ciężkości zmieni swoje położenie i zajmie pozycję S',wywoła to moment obrotowy/para sił G i R/;
(1)\(\displaystyle{ M=G \cdot k \cdot sin \alpha}\)
2. Warunek równowagi dżwigni - belki wzgl. punktu podparcia 0 / algebraiczna suma momentów wszystkich sił/;
(2)\(\displaystyle{ \Sigma M_o=P \cdot l \cdot cos \alpha +G \cdot k \cdot sin \alpha -F \cdot l \cdot cos \alpha =0}\)
3.Z równania (2) możemy określić przepis na wychylenie;
(3)\(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{(F-P) \cdot l}{G \cdot k}}\)
/ Poddać analizie równanie (3)/
..................................................................
Wychylenie jest wprost proporcjonalnie od różnicy obciąż F i P, długości dźwigni l, a odwrotnie proprcjonalnie do iloczynu; cieżaru dzwigni G i wartości k.

Z równania (3) wynika np. jeśli F=P, to dźwignia(belka) zajmuje położenie poziome, bo;
\(\displaystyle{ \alpha =0}\)

Mam wrażenie, że nie jest to dobre objaśnienie powodu, dla którego tak podparta dźwignia powróci do poziomego położenia bez interwencji.
W.Kr.
PS.
1. Nie zauważa Pan, że tak pokazana belka nie spełnia głównej zasady równowagi stałej : minimum energii potencjalnej?
2. Pisze Pan:"wywoła to moment obrotowy/para sił G i R/; "
Takiego określenia "para sił"nie można tu użyć. Trzeba raczej napisać dwie siły G i R.
Bowiem para sił w terminologii używanej w mechanice to zupełnie inna para sił.

W przypadku równowagi trwałej energia potencjalna ma wartość minimum
Najmniejsze odchylenie ciała od stanu równowagi trwałej powiększa jego energię potencjalną.
Wtedy to pojawiają się siły, które kierują ciało ku położeniu o minimalnej energii potencjalnej. Mówiąc wprost zmierzają do przywrócenia stanu równowagi trwałej.

Myślę że ten szkic wyjaśni różnicę w postrzeganiu problemu. W.Kr.