Matematyka.pl

Prosze o pomoc
Które z nastepujących rozszerzeń ciała \(\displaystyle{ \QQ}\) są normalne i dlaczego
a) \(\displaystyle{ \QQ(\sqrt{2})}\)
b) \(\displaystyle{ \QQ(\sqrt[3]{2})}\)
c) \(\displaystyle{ \QQ(\sqrt[4]{2})}\)
d)\(\displaystyle{ \QQ(i , \sqrt{2} )}\)
f) \(\displaystyle{ \QQ( \sqrt[3]{2}, i )}\)
g) \(\displaystyle{ \QQ( \sqrt{2}, \sqrt{3})}\)
h) \(\displaystyle{ \QQ( \sqrt[4]{2}, i )}\)

No dobrze, to co wiesz o roszerzeniu normalnym?

Rozszerzenie L ciała K nazrywamy normalnym wtedy i tylko wtedy gdy jest algebraiczne i dla każdego b należącego do L wielomian nierozkładalny f należące do K[x] którego pierwiastkiem jest b rozkłada sie w L[x] na czynniki liniowe .



W przykładzie a) jest normalne bo jest ciałem rozkładu wielomianu x^2-2 . No i dlatego że jest drugiego stopnia i ma dwa pierwiastki (\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) ,\(\displaystyle{ - \sqrt{2}}\))
tak czy to o to chodzi i jak zrobić z d) , f) , h)

-- 14 kwi 2014, o 17:01 --

ad.b) nie jest normalne bo wielomian x^3-2 nie jest rozkładalny ,brak pozostałych dwóch pierwiastków