Matematyka.pl

Zadanie było już kiedyś poruszone na tym forum , bezowocnie.

Finał pierwszego konkursu PW.

W stożek o promieniu podstawy r i wysokości h wpisano kulę. Następnie wpisano drugą kulę styczną zewnętrznie do kuli poprzedniej oraz do powierzchni bocznej stożka, następnie trzecią i tak dalej. Obliczyć sumę objętości wszystkich wpisanych kul.

Sam próbowałem , miałem już całkiem fajnie to przekształcone , ale do wyniku daleko .
Próbowałem z podobieństwem i wiadomo trzeba z tego zrobić jakiś szereg geometryczny , ale jak ?
Pomożecie ?

Policz \(\displaystyle{ \frac{r _{1} }{r}; \ \frac{r _{2} }{r _{1} }; \ \frac{r _{3} }{r _{2} }}\) i zobaczymy, co z tego wyjdzie.

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ (r_n)}\) ciąg (malejący) promieni kolejnych kul wpisywanych w stożek.

Dla wygody oznaczmy też przez \(\displaystyle{ l}\) długość tworzącej stożka - wiemy, że \(\displaystyle{ l=\sqrt{r^2+h^2}}\).

Rozważmy pierwszą kulę wpisaną w stożek (styczną do podstawy stożka). Jej promień \(\displaystyle{ r_1}\) to odległość środka od podstawy stożka jak i odległość od tworzącej. Łatwo zauważyć, że długość fragmentu tworzącej stożka między wierzchołkiem stożka a punktem styczności rozważanej kuli wynosi \(\displaystyle{ l-r}\). Podobnie długość fragmentu wysokości stożka między wierzchołkiem a środkiem rozważanej kuli wyraża się wzorem \(\displaystyle{ h-r_1}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ (h-r_1)^2=r_1^2+(l-r)^2}\), skąd mamy \(\displaystyle{ 2hr_1=h^2-(l-r)^2=h^2-(h^2+r^2)+2lr-r^2}\), tj. Korzystając dalej ze styczności zewnętrznej kolejnych kul i styczności każdej z nich do tworzącej stożka dochodzimy na podstawie twierdzenia Talesa kolejno do zależności: skąd mamy lub prościej: Zatem \(\displaystyle{ (r_n)}\) jest ciągiem geometrycznym liczb dodatnich (co zauważyła już kropka+) o ilorazie mniejszym od \(\displaystyle{ 1}\). W konsekwencji ciąg \(\displaystyle{ (r_n^3)}\) jest geometryczny i jego iloraz też jest mniejszy od \(\displaystyle{ 1}\). Ta uwaga pozwala łatwo obliczyć sumę objętości wszystkich kul wpisanych w stożek.

Można też zrobić to bez nieskończonej sumy ciągu geometrycznego.
Po obliczeniu promienia R pierwszej wpisanej kuli policzyłbym promień r' przekroju równoległego do podstawy stożka i stycznego do tej kuli.
Stosunek objętości pierwszej kuli do objętości stożka ściętego w który jest ona wpisana jest równy stosunkowi poszukiwanej objętości wszystkich kul do objętości całego stożka.

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{4}{3} \pi R ^{3} }{\frac{1}{3} \pi r ^{2}h-\frac{1}{3} \pi \left( r ^{'} \right) ^{2}\left( h-2R\right) } = \frac{V _{s} }{\frac{1}{3} \pi r ^{2}h}}\)

( Bo każdą kulę możemy wpisać w stożek ścięty ograniczony przekrojami równoległymi do podstawy ,,dużego'' stożka. Z podobieństwa można wykazać, że stosunek objętości kul do objętości stożków ściętych w który są wpisane jest stały )

dzięki lukasz1804 i krejas , muszę przyznać ,że ładnie to rozwaliłeś krejas