Definicja przestrzeni liniowej- które warunki są konieczne?
: 8 kwie 2014, o 20:49
Witam!
Mam pewien problem. Dzisiaj na zajęciach przytoczyłem następujące warunki jakie muszą spełniać działania dodawania i mnożenia, abyśmy mogli mówić o przestrzeni liniowej V nad ciałem K:
\(\displaystyle{ 1. (u+v)+w=u+(v+w),\text{ dla }u,v,w\in V,\\
2. \text{istnieje element } 0 \in V \text{ taki, że } u+0=0+u=u,\\
3. \text{ dla dowolnego } u\in V \text{ istnieje } u'\in V \text{ taki, że } u+u'=0,
\\
4. u+v=v+u \text{ dla u,v }\in V,\\
5. (a+b)v=av+bv \text{ dla } a,b\in K \text{ } v\in V ,\\
6. (a\cdot b)v=a\cdot (b\cdot v),\\
7. 1\cdot v=v.}\)
Moje pytanie dotyczy następującej rzeczy: Czy w definicji musi być podany jeszcze następujący warunek:
\(\displaystyle{ 8.a\cdot( u+v)=a\cdot u+ a\cdot v.}\)?
Prowadząca zajęcia przypomniała mi o tym warunku, lecz w notatkach z wykładu nie mam zapisanego takowego. Stwierdziła później, że może on wynikać z tych pozostałych. Czy ktoś z Was może wie, czy ten warunek musi być zapisany w definicji lub w jaki sposób on wynika z siedmiu zapisanych przeze mnie? Ja nie widzę jakoś tego wynikania, wszelkie rachunki zatrzymują mi się w jakimś momencie (niekoniecznie tym samym).
Mam pewien problem. Dzisiaj na zajęciach przytoczyłem następujące warunki jakie muszą spełniać działania dodawania i mnożenia, abyśmy mogli mówić o przestrzeni liniowej V nad ciałem K:
\(\displaystyle{ 1. (u+v)+w=u+(v+w),\text{ dla }u,v,w\in V,\\
2. \text{istnieje element } 0 \in V \text{ taki, że } u+0=0+u=u,\\
3. \text{ dla dowolnego } u\in V \text{ istnieje } u'\in V \text{ taki, że } u+u'=0,
\\
4. u+v=v+u \text{ dla u,v }\in V,\\
5. (a+b)v=av+bv \text{ dla } a,b\in K \text{ } v\in V ,\\
6. (a\cdot b)v=a\cdot (b\cdot v),\\
7. 1\cdot v=v.}\)
Moje pytanie dotyczy następującej rzeczy: Czy w definicji musi być podany jeszcze następujący warunek:
\(\displaystyle{ 8.a\cdot( u+v)=a\cdot u+ a\cdot v.}\)?
Prowadząca zajęcia przypomniała mi o tym warunku, lecz w notatkach z wykładu nie mam zapisanego takowego. Stwierdziła później, że może on wynikać z tych pozostałych. Czy ktoś z Was może wie, czy ten warunek musi być zapisany w definicji lub w jaki sposób on wynika z siedmiu zapisanych przeze mnie? Ja nie widzę jakoś tego wynikania, wszelkie rachunki zatrzymują mi się w jakimś momencie (niekoniecznie tym samym).