Matematyka.pl

zbadaj istnienie granicy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{p ^{2}n ^{2}+2n+4 }-(n+p) }}\)
w zależności od wartości parametru \(\displaystyle{ p}\), \(\displaystyle{ p \in \RR.}\)

Standardowo, najpierw mnożymy licznik i mianownik przez sumę
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{p^2n^2+2n+4}-(n+p)}=
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{p^2n^2+2n+4}+(n+p)}{p^2n^2+2n+4-(n^2+2np+p^2)}=}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{p^2n^2+2n+4}+(n+p)}{(p^2-1)n^2+(2-2p)n+4-p^2}}\)

Teraz dzielimy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{p^2+\frac{2}{n}+\frac{4}{n}}+1+\frac{p}{n}}{(p^2-1)n+(2-2p)+\frac{4-p^2}{n}}}\)

No i teraz widać, że gdy \(\displaystyle{ p^2-1\neq0}\) to granicą będzie na pewno zero.

Pozostają do sprawdzenia dwa przypadki \(\displaystyle{ p=1}\) i \(\displaystyle{ p=-1}\). Z licznikiem nie ma problemu, bo w obu zawsze będzie dążył do \(\displaystyle{ 2}\).
Musisz sprawdzić co dzieje się z mianownikiem, a to już nietrudne.

W przypadku p= 1 mianownik dąży do 0. Co wtedy? Proszę o wytłumaczenie.

Masz \(\displaystyle{ \left[\frac{2}{0}\right]}\) i ...

rozwiązanie w formie filmiku