Matematyka.pl

Cześć !

Próbuję sobie udowodnić, że :

Funkcja charakterystyczna \(\displaystyle{ \chi_A(x)}\) jest mierzalna \(\displaystyle{ \iff}\) \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalny. \(\displaystyle{ A \subset \RR}\).

"\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)"

\(\displaystyle{ \chi_{A}(x)=\begin{cases}1&\text{gdy }x \in A\\ 0& \text{gdy }x \in A\end{cases}}\)

I wiem, że ta funkcja jest mierzalna.

Teraz widzę, że funkcja charakterystczyna jest sumą dwóch zbiorów. Przeciwobrazu \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}}\) i przeciwobrazu \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\). I teraz nie wiem czy mogę z tego wywnioskować, że skoro \(\displaystyle{ \chi_A}\) jest mierzalna to i te dwa przeciwobrazy są. A przeciwobraz jedynki to nic innego jak \(\displaystyle{ A}\).

Czy to załatwia dowód z lewa na prawo?

Z góry dziękuję za odpowiedź.

leszczu450 pisze:
\(\displaystyle{ \chi_{A}(x)=\begin{cases}1&\text{gdy }x \in A\\ 0& \text{gdy }x \in A\end{cases}}\)

To źle zapisałeś. I znowu dowód znajdziesz w necie. Twoje rozumowanie jest mało precyzyjne (miło to określając)

miodzio1988, pewnie! Powinno być:

\(\displaystyle{ \chi_{A}(x)=\begin{cases}1&\text{gdy }x \in A\\ 0& \text{gdy }x \not\in A\end{cases}}\)

Ale co dokładnie jest nieprecyzjnego ? Mógłbyś trochę rozwinąć swoją wypowiedź?

Np to

funkcja charakterystczyna jest sumą dwóch zbiorów.

sobie sprawdź na jakimś przykładzie.

Są pewne definicje, korzystaj z tych definicji. Powinieneś wiedzieć co to znaczy, że funkcja jest mierzalna

miodzio1988, no tak czułem, że coś w tym miejscu kłamię... No dobra. To z definicji. Wiem, ze funkcja \(\displaystyle{ f : C \to \RR}\), gdzie \(\displaystyle{ C \in \mathcal{M}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{M}}\) to pewne sigma ciało jest mierzalna o ile dla każdego \(\displaystyle{ c \in \RR}\) zbiory \(\displaystyle{ \left\{ x \in \RR : f(x)<c \right\} \in \mathcal{M}}\).

My wiemy, że funkcja \(\displaystyle{ \chi_A}\) jest mierzalna. Czyli zbiory postaci \(\displaystyle{ \left\{ x \in \RR :\chi_A<c\right\}}\) należa do sigma ciała \(\displaystyle{ \mathcal{M}}\).

Póki co jest ok?

No niech jest. To nie są korki online, więc napisz co masz do napisania, a nie prosisz o weryfikacje definicji, którą, na tym etapie, powinieneś doskonale znać.

miodzio1988, właśnie nad tym myślę co mam napisać. Wydaje mi się, że musze rozbić ten mój zbiór na sume.

I znowu dowód znajdziesz w necie.

Więc polecam poszukać najpierw. W razie pytań pisz tutaj

-- 8 kwietnia 2014, 11:53 --
Na jaką sumę chcesz rozbijać może napisz.

miodzio1988, wiem, że musze udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ x \in \RR , \quad \chi_A(x)=1\right\}}\) jest mierzalny

Na jaką sumę chcesz rozbijać może napisz...

miodzio1988, no właśnie nie wiem. Stoję w tym samym miejscu co kilka postów temu.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \chi_A}\) jest mierzalna. Zatem w szczególności \(\displaystyle{ \chi_A^{-1}(\{1\})}\) jest zbiorem mierzalnym. Co z tego wynika?

Załóżmy , że \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalny. Wobec tego \(\displaystyle{ X\setminus A}\) jest mierzalny. Wybieramy dowolne \(\displaystyle{ a\in \RR}\) i sprawdzamy, czy \(\displaystyle{ \{x:\chi_A(x)<a\}}\) jest mierzalny. Rozważ sensowne przypadki.

yorgin, dzięki wielkie : ) teraz to udowodniłem : )

yorgin pisze:Załóżmy, że \(\displaystyle{ \chi_A}\) jest mierzalna. Zatem w szczególności \(\displaystyle{ \chi_A^{-1}(\{1\})}\) jest zbiorem mierzalnym. Co z tego wynika?

Niestety mały minus u nas jest taki, że nie mówi się na wykładzie, że funkcja jest mierzalna, gdy przeciwobrazy zbiorów borelowskich są mierzalne. Ale w to miejsce proponowałbym posłużyć się definicją, lub prostym wnioskiem - można zapisać, że
\(\displaystyle{ \chi_A^{-1} (\{1\}) = \{ x \in X \ ; \ \chi_{A} (x) \geq 1 \},}\)
a to już w pełni rozwiązuje sprawę.

\(\displaystyle{ f^{-1}(\{b\})=f^{-1}((-\infty,b])\cap f^{-1}([b,+\infty))}\) więc dla odwzorowania mierzalnego \(\displaystyle{ f}\) przeciwobrazy singletonów też są mierzalne. Nie ma tu żadnej magii