Matematyka.pl

Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) oraz \(\displaystyle{ a+b+c=1}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 9}\).

Podstaw \(\displaystyle{ 1 = a+b+c}\). Dalej nierówność \(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2, x,y >0}\)
Add. 2
Można też szybciej ; Korzystając z nierówności prawdziwej dla dowolnych dodatnich liczb \(\displaystyle{ x, y, z}\) mamy, że\(\displaystyle{ \left( x+y+z \right) \left( \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) \ge 9}\). Z twierdzenia o średnich masz automatycznie ową nierówność

A da się jakoś bez średnich? Bo nie brałem tego.

Przecież Zahion podał Ci też sposób bez użycia nierówności o średnich.

Podstaw \(\displaystyle{ 1 = a+b+c}\). Dalej nierówność\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2, x,y >0}\)

Podstawiasz j.w. za jedynki do liczników, rozpisujesz i używasz wskazanej własności. W czym problem?

Skąd się bierze ta nierówność? Szczególnie ta dwójka po prawej.

Skoro \(\displaystyle{ x, y>0}\), to również \(\displaystyle{ xy>0}\), zatem możesz pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ xy}\), przerzucić wszystko na jedną stronę i zwinąć do \(\displaystyle{ (x-y) ^{2} \ge 0}\) (formalnie bez napomknięcia o równoważności przekształceń to nie dowód :>).

I weź tu wpadnij na takie coś... dzięki, teraz rozumiem.