przykład funkcji nieciągłej ze zbioru otwartego na otwarty

[Jacek_fizyk]

Podaj przykład funkcji \(\displaystyle{ f}\) zbioru otwartego na zbiór otwarty, która nie jest ciągła.

Jeśli założymy dodatkowo, że jest \(\displaystyle{ f}\) injekcją to czy wtedy \(\displaystyle{ f}\) będzie ciągła?

Jak skonstruować taki przykład?

[Winged]

Niech \(\displaystyle{ S^1 = \left\{ e^{i 2 \pi x} \in \mathbb{C} : x \in \left[ 0;1 \right) \right\}}\) wraz z topologią indukowaną przez topologię euklidesową. Wówczas \(\displaystyle{ U = \left\{ e^{i 2 \pi x} \in S^1: x \in \left( -\frac{1}{4}; \frac{1}{4} \right) \right\}}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ S^1}\). Niech \(\displaystyle{ \phi : S^1 \to \left[ 0;1 \right)}\) będzie dane wzorem: \(\displaystyle{ \phi \left( e^{i 2 \pi x}\right) = x}\). Zbiór \(\displaystyle{ \phi \left( U \right) = \left[ 0;\frac{1}{4} \right) \cup \left( -\frac{1}{4};1 \right)}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \left[ 0;1 \right)}\). (oczywiście \(\displaystyle{ \phi |_U : U \to \phi \left( U \right)}\) jest surjekcją)
Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \phi^{-1} \left( \left[ 0;\frac{1}{4} \right)\right)}\), żeby zobaczyć, że \(\displaystyle{ \phi}\) nie jest ciągłe.