Matematyka.pl

Mam zdiagonalizować taką macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}\right]}\)

Wartości własne to \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\).

Wektory własne:

dla \(\displaystyle{ 1}\):

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right]}\) zatem przestrzeń rozpinająca to \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,1\right) \right\}}\)

dla \(\displaystyle{ -1}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{array}\right]}\) zatem przestrzeń rozpinająca to \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,-1\right) \right\}}\) czyli suma wymiarów to \(\displaystyle{ 2}\) i macierz nie jest diagonalizowalna. Problem w tym, że wolfram pokazuje inaczej. Do tych przestrzeni rozpinających dodaje jeszcze \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 0,1,0\right) \right\}}\). W czym błąd?

Po pierwsze, symetryczna macierz rzeczywista jest diagonalizowalna.

Po drugie, macierz

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right]}\)

przekształca wektor \(\displaystyle{ (0,1,0)}\) na \(\displaystyle{ (0,0,0)}\). Jakże więc twierdzisz, że nie należy on do jądra tej macierzy?

No dobrze wszystko się zgadza, tylko patrząc na moją metodę, czyli szukanie przestrzeni rozpinającej, to nie wiem dlaczego po rozpisaniu układów równań, czyli pomnożeniu macierzy przez wektor \(\displaystyle{ \left[ x,y,z\right]}\), dostajemy taką przestrzeń rozpinającą? Czyli ponawiam pytanie dlaczego moje rozumowanie nie jest poprawne?

Nie napisałeś, w jaki sposób szukasz tej przestrzeni rozpinającej, więc nie wiem, gdzie dokładnie popełniasz błąd.

a więc mnożę macierze przez wektor \(\displaystyle{ \left[ x,y,z\right]}\) i otrzymuję odpowiednio układy równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -x+y=0\\x-z=0\end{cases}}\) , zatem wektor własny jest postaci: \(\displaystyle{ \left[ x,0,x\right]}\) więc przestrzeń rozpinająca to: \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,1\right) \right\}}\).

drugi układ równań to:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+z=0\\2y=0\\x+z=0 \end{array}}\) więc przestrzeń rozpinająca to \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,-1\right) \right\}}\)

waliant pisze: \(\displaystyle{ \begin{cases} -x+{\color{red}y}=0\\x-z=0\end{cases}}\)

Zacznij od poprawienia układu.

no tak powinno być
\(\displaystyle{ \begin{cases} -x+z=0\\x-z=0\end{cases}}\)
lecz wynik zapisałem do tego układu, więc pytanie pozostaje.

I naprawdę twierdzisz, że trójka

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=0\\y=1\\z=0\end{cases}}\)

nie spełnia tego układu równań?