Matematyka.pl

Ciało rzucono pionowo do dołu. Prędkość przy upadku okazała się 5 razy większa od prędkości początkowej. Z jakiej wysokości rzucono ciało jeśli czas spadania wynosił \(\displaystyle{ 3 s}\). Ile wynosiła prędkość początkowa?

-------
Na Internecie znalazłem inne metody rozwiązania tego zadania jednak ja muszę skorzystać z zasady zachowania energii. Zakładamy że \(\displaystyle{ g=10}\)
-------

\(\displaystyle{ mgh + \frac{mv _{p} ^{2} }{2} = \frac{mv ^{2} _{k} }{2}}\)

\(\displaystyle{ v _{k} = \sqrt{2gh+v _{p} ^{2}}}\)

Po podstawieniu:

\(\displaystyle{ 5v _{p} = \sqrt{2gh+v _{p} ^{2}}}\)

\(\displaystyle{ 25v _{p} ^{2} = 2gh+v _{p} ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 25v _{p} ^{2} = 2gh+v _{p} ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 24v _{p} ^{2} = 2gh}\)

Ze wzoru na wysokość w rzucie pionowym z prędkością początkową \(\displaystyle{ \neq}\) 0 obliczamy h mając czas:

\(\displaystyle{ h=v _{p}t+ \frac{gt ^{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ h=3v _{p}+ \frac{10 \cdot 3 ^{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ h=3v _{p}+ \frac{g3 ^{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ h=3v _{p}+45}\)

Podstawiamy do pierwszego przekształcenia:

\(\displaystyle{ 24v _{p} ^{2} = 2g(3v _{p}+45)}\)

\(\displaystyle{ 24v _{p} ^{2} = 20(3v _{p}+45)}\) (bo g=10)

\(\displaystyle{ 24v _{p} ^{2} = 60v _{p}+900}\)

\(\displaystyle{ 2v _{p} ^{2} = 5v _{p}+75}\)

Dalej niestety nie potrafię rozwiązać tego równania ale nie w tym problem.
W odpowiedziach prędkość początkowa wynosi 7,5 a tutaj na pewno będzie inny wynik. Jaki błąd tu popełniłem?

Edit: poprawiłem błędy. Teraz jest ok

\(\displaystyle{ h=3v _{p}+ \frac{10 \cdot 3 ^{2} }{2}=3v _{p}+45}\)

\(\displaystyle{ 45}\) zamiast \(\displaystyle{ 450}\)


Edit: Wszystko teraz na jedną stronę, podstaw sobie \(\displaystyle{ v_{p}=x}\) i poczytaj o równaniu kwadratowym.

Troszkę inną drogą

1. Z przemian energii
(1)\(\displaystyle{ mg \cdot h+ \frac{mv ^{2} _o}{2}=\frac{mv ^{2} _k}{2}}\)
2.Ruch jednostajnie przyśpieszony- równanie prędkości
(2)\(\displaystyle{ v_k=v_o+gt}\)
3. Z warunków zadania
(3) \(\displaystyle{ v_k=5 \cdot v_o}\)
.................................
3.Prędkość poczatkowa vo, równania (2) i (3) ;
(4) \(\displaystyle{ v_o= \frac{gt}{4}}\)
4.Prędkość końcowa vk
(5) \(\displaystyle{ v_k=\frac{5gt}{4}}\)
5.Wysokość h obl. z równania (1)
(6)\(\displaystyle{ h= \frac{v ^{2}_k-v ^{2} _o }{2g}}\)
............