Matematyka.pl

Dzień dobry,
mam pytanie co do trójkąta równobocznego w podstawie. Właściwie nie do niego, a tu podstawy tego trójkąta w środku ostrosłupa, gdy w podstawie jest trójkąt równoboczny.
Są dwie możliwości "1/3h" i "2/3h" i moje pytanie brzmi, kiedy mam wiedzieć, którą własność zastosować? Czy mam to wywnioskować z obrazka, czy jak...
Bardzo dziękuję za odpowiedź.

Obrazek:

Jeśli jest prawidłowy - to patrzysz czy od wierzchołka do ,,środka" \(\displaystyle{ (2/3)}\) czy od boku do ,,środka"\(\displaystyle{ (1/3)}\).

piasek101 pisze:Jeśli jest prawidłowy - to patrzysz czy od wierzchołka do ,,środka" \(\displaystyle{ (2/3)}\) czy od boku do ,,środka"\(\displaystyle{ (1/3)}\).

Aaa no tak, to logiczne haha. Dziękuję bardzo

Zacznijmy od tego, że mamy do czynienia z ostrosłupem prawidłowym trójkątnym, czyli w podstawie mamy trójkąt równoboczny. Często w zadaniach z tym ostrosłupem (i innymi) podają
a) kąt między ścianą boczną ostrosłupa i płaszczyzną podstawy
b) kąt między krawędzią boczną ostrosłupa i płaszczyzną podstawy. Zerknij na rysunek (nie sugeruj się wartościami, bo to z innego zadania):

Kąt a) zawiera się w fioletowym trójkącie prostokątnym, kąt b) zawiera się w pomarańczowym trójkącie prostokątnym. Oba trójkąty mają jedną wspólną przyprostokątną - wysokość ostrosłupa. Ponadto, w trójkącie fioletowym druga przyprostokątna to promień okręgu wpisanego w podstawę r, zaś w trójkącie pomarańczowym druga przyprostokątna pokrywa się z promieniem okręgu opisanego na podstawie R.
No i na koniec wystarczy dodać, że r stanowi 1/3 wysokości podstawy h, a R stanowi 2/3. Cały czas pamiętamy, że podstawą omawianego ostrosłupa jest trójkąt równoboczny.

Sherlock pisze:Zacznijmy od tego, że mamy do czynienia z ostrosłupem prawidłowym trójkątnym, czyli w podstawie mamy trójkąt równoboczny. Często w zadaniach z tym ostrosłupem (i innymi) podają
a) kąt między ścianą boczną ostrosłupa i płaszczyzną podstawy
b) kąt między krawędzią boczną ostrosłupa i płaszczyzną podstawy. Zerknij na rysunek (nie sugeruj się wartościami, bo to z innego zadania):

Kąt a) zawiera się w fioletowym trójkącie prostokątnym, kąt b) zawiera się w pomarańczowym trójkącie prostokątnym. Oba trójkąty mają jedną wspólną przyprostokątną - wysokość ostrosłupa. Ponadto, w trójkącie fioletowym druga przyprostokątna to promień okręgu wpisanego w podstawę r, zaś w trójkącie pomarańczowym druga przyprostokątna pokrywa się z promieniem okręgu opisanego na podstawie R.
No i na koniec wystarczy dodać, że r stanowi 1/3 wysokości podstawy h, a R stanowi 2/3. Cały czas pamiętamy, że podstawą omawianego ostrosłupa jest trójkąt równoboczny.

Dziękuję bardzo za tak dogłębne wyjaśnienie. Przyznam, że dzięki temu rysunkowi jest mi to bardzo łatwo sobie wyobrazić i już nie mam żadnych wątpliwości. Dziękuję raz jeszcze!

Dodam jeszcze, choć pewnie wiesz, że trójkąt równoboczny jest specyficzny i można sprawnie przechodzić z wysokości do długości boku czy promieni, wte i wewte
\(\displaystyle{ R= \frac{2}{3}h= \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{a \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{3}h= \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{a \sqrt{3} }{6}}\)
\(\displaystyle{ R+r=h= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)