Matematyka.pl

W jaki sposób rozwiązać zadania tego typu:

Udowdnij, że jeżeli suma wszystkich dzielników pewnej liczby naturalnej jest dwa razy większa od tej liczby, to suma odwrotności tych dzielników wynosi 2.

\(\displaystyle{ \sum d_i =2n}\)
ale
\(\displaystyle{ 2n=\sum d_i=\sum \frac{n}{d_i}=n\sum \frac{1}{d_i}}\)
stad
\(\displaystyle{ 2=\sum \frac{1}{d_i}}\)

Może dziwnie odświeżać temat po ponad trzech latach, ale link znalazłem w 'zbiorze zadań z teorii liczb', stąd piszę tutaj:

\(\displaystyle{ \sum d_i=\sum \frac{n}{d_i}}\)

Skąd to się wzięło? Jeśli \(\displaystyle{ d_{i}}\) jest sumą dzielników liczby n, to weźmy dla przykładu n=8. Wtedy: \(\displaystyle{ d_{i}=15 \neq \frac{8}{15}}\)
Co źle zrozumiałem?

To nie do końca tak jak kolega wyżej napisał

Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ d_i}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ \frac{n}{d_i}}\) też jest jej dzielnikiem. Zatem zachodzi równość zbiorów:

\(\displaystyle{ \lbrace d_1, d_2, \ldots, d_k \rbrace = \lbrace \frac{n}{d_1}, \frac{n}{d_2}, \ldots, \frac{n}{d_k} \rbrace}\),
gdzie \(\displaystyle{ d_1, d_2, \ldots d_k}\) są wszystkimi dzielnikami liczby \(\displaystyle{ n}\).

Zatem:
\(\displaystyle{ 2n=d_1+d_2+\ldots+d_k=\frac{n}{d_1}+\frac{n}{d_2}+\ldots+\frac{n}{d_k}}\)

Już wszystko gra

Sylwek pisze:
Zatem:
\(\displaystyle{ 2=d_1+d_2+\ldots+d_k=\frac{n}{d_1}+\frac{n}{d_2}+\ldots+\frac{n}{d_k}}\)

Chyba zgubiles n na poczatku, powinno byc:
\(\displaystyle{ 2n=d_1+d_2+\ldots+d_k=\frac{n}{d_1}+\frac{n}{d_2}+\ldots+\frac{n}{d_k}}\)

OK, dzięki za wyjaśnienie - teraz już wszystko jasne. Swoją drogą: ciekawa ta równość zbiorów.

To są dokładnie te same dzielniki, tylko w odwrotnej kolejności.
Przykładowo dla \(\displaystyle{ n=10}\) mamy dzielniki \(\displaystyle{ d_i}\) takie \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,5,10\right\}}\) a dla \(\displaystyle{ \frac{n}{d_i}}\) mamy \(\displaystyle{ \left\{ 10,5,2,1\right\}}\)