Matematyka.pl

Udowodnic, ze wielomiany ortogonalne \(\displaystyle{ Q_{n}(x)}\) unormowane spelniaja nastepujace rownanie rekurencyjne:

\(\displaystyle{ Q_{k+1}(x)=(x- a_{k+1})Q_{k}(x)-b_{k}Q _{k-1}(x)}\)
gdzie stale dane sa wzorem:
\(\displaystyle{ a_{k+1}= \frac{<xQ _{k}(x), Q_{k}(x)>}{< Q_{k},Q_{k}>}

b_{k}= \frac{<Q_{k},Q_{k}>}{<Q_{k-1},Q_{k-1}>}

Q_{-1}(x)=0

Q_{0}(x)=1}\)

To wszystko co mam podane, nie wiem za bardzo jak mam operowac na tym iloczynie skalarnym, jesli nie mam podanej wagi ani przedzialu

Z funkcją wagową związany jest iloczyn skalarny. Same wielomiany określone są w całym \(\displaystyle{ \RR}\). Jednak w rozumowaniu, które masz przeprowadzić wystarczy wiedzieć, że \(\displaystyle{ \langle Q_i,Q_j\rangle=0}\) dla \(\displaystyle{ i\ne j}\). Nie trzeba znać konkretnej postaci funkcji wagowej.

Przeliczenie wykorzystuje jedynie znane własności iloczynu skalarnego.

Chce skorzystac z indukcji.Dla k=0
\(\displaystyle{ Q_{1}(x)=x- \frac{<x,1>}{<1,1>}}\)
Wiem, ze wielomian \(\displaystyle{ x^{k}}\) moge przedstawic jako kombinacje liniowa \(\displaystyle{ Q_{0}...Q_{k}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ <x^{k},Q_{n}>=0}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,..n-1}\)
Zatem :
\(\displaystyle{ Q_{1}(x)=x}\)

Dla k+1:
Wiem,ze wielomian musi byc postaci \(\displaystyle{ Q_{k+2}(x)=(x-x_{1})...(x-x_{k+2})}\)
Korzystajac ze wzoru rekurencyjnego:
\(\displaystyle{ Q_{k+2}(x)=(x- \frac{<xQ_{k+1},Q_{k+1}>}{<Q_{k+1},Q_{k+1}>})Q_{k+1}- \frac{<Q_{k+1},Q_{k+1}>}{<Q_{k},Q_{k}>} Q_{k}}\)
Wiem,ze \(\displaystyle{ xQ_{k+1}= \sum_{i=0}^{k+2}c_{i}Q_{i}}\)
Rozumiem, ze jako rozbije to na taka sume, w moim iloczynie skalarnym wyzeruje sie wszystko oprocz wielomianu \(\displaystyle{ c_{k+1}Q_{k+1}}\) .Czyli powinienem dostac:
\(\displaystyle{ Q_{k+2}(x)=(x- \frac{c_{k+1}<Q_{k+1},Q_{k+1}>}{<Q_{k+1},Q_{k+1}>})Q_{k+1}- \frac{<Q_{k+1},Q_{k+1}>}{<Q_{k},Q_{k}>} Q_{k}}\)
Mam problem co dalej zrobic, wiem tylko, ze:
\(\displaystyle{ <Q_{k},Q_{k}>= \int_{ \alpha }^{ \beta } (x-x_{1})^{2}...(x-x_{k})^{2}p(x)}\), gdzie
\(\displaystyle{ [ \alpha , \beta ]}\) to przedzial na jakim dzialamy a \(\displaystyle{ p(x)}\) funkcja wagowa .Prosze o pomoc

W tej chwili nie mogę Ci pomóc. Ale przyszło mi do głowy, że możesz przejrzeć wzory dotyczące ortogonalizacji Schmidta i z nich coś wydedukować. Nie wiem czy to się da, ale nic nie kosztuje sprawdzić.

Tego rodzaju rozważania prowadzi się w analizie numerycznej i ciąg wielomianów ortogonalnych względem każdej wagi ma odpowiednią formułę rekurencyjną. Nie pamiętam, ale może w książce Chenneya i Kincaida "Analiza numeryczna" coś na ten temat znajdziesz. Ponadto w książce Ralstona "Wstęp do analizy numerycznej". Również w klasyku z 1937 "Orthogonal polynomials" autorstwa Szego (to po angielsku). Wiele jest podręczników analizy numerycznej.

Przykro mi, że na razie nie pomogę, ale idę na swoje wykłady. Dziś matematyka (metoda eliminacji niewiadomych) oraz statystyka (średnie).

Czy ktoś może wie jak to udowodnić?

To jest klasyczny temat. Wielomiany ortogonalne spełniają pewną relację rekurencyjną, dowód której można znaleźć w każdym podręczniku analizy numerycznej. Nic tylko odczytać odpowiednie współczynniki.

Cytowana już przeze mnie książka Chenneya, twierdzenie 6.8.9. Nie będę robił wykładu dla jednej osoby. Chenneya łatwo zdobyć.

Z podręczników tłumaczonych na polski powinno jeszcze być w książce Ralstona. Niestety u nas brak rodzimych podręczników z analizy numerycznej.