Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{\sqrt{n^2+2} - \sqrt{n^2-2} }{n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+4+...+2n}{n^3}}\)

problem w tym że nie wiem jak zacząć. Oba są zbieżne. i jeszcze jedna granice, będę wdzięczny
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (1+n)^n}\) to będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\)?

Granica to nieskonczonosc

Pierwsze sprzezenie

a gdyby \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (1+ \frac{1}{n} ) ^{-n}}\)

ok a tu sprzężenie ? \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n-1} }{ \sqrt{n} }}\)

Wtedy tak

drugie pytanie : tez

dalej proszę o pomoc w drugim przykładzie

Policz sumę w liczniku

ogólnie dzięki za pomoc, ale coś mi nie wychodzą te sprzężenia ;/
chyba, że mylę pojęcia. mnoże razy \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n-1} }{ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n-1} }}\)

zgadza się

hmm mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{n} \cdot \left( \sqrt{n+1} + \sqrt{n-1} \right) }}\) no i tu nie wiem dalej. Z kryterium porównawczego. Myślę, że już można stwierdzić, że szereg jest rozbieżny więc: ten ułamek > od czego? (trzeba ułamek zmniejszyć, np powiększając mianownik). No tak myślę, ale nie wiem co dalej

Pomyśl od czego. Tak, wygląda na rozbieżny

podnieść wtedy do kwadratu każdy pierwiastek i wyjdzie że \(\displaystyle{ b_n=2 \cdot \frac{1}{n^5-1}}\). Tak można, jak nie to już nie wiem ;/

Z jakiej paki mamy do kwadratu podnosić?

żeby zwiększyć mianownik. To tylko pomysły (tak, bez potwierdzenia). To był mój ostatni