Matematyka.pl

1.Wyznacz liczbę m, tak aby proste o równaniach: \(\displaystyle{ y=( m^{3}-3)x-2}\) i \(\displaystyle{ y=(m+3)x+1}\) były równoległe.

2.Wyznacz współrzędne środka i promień okręgu o równaniu: \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2} +10x-12y+52=0}\).

3.Wykaż, że prosta k przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ A=(1,-5), B=(-1,3)}\) jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ y= \frac{1}{4}x+2}\).

4.Dana jest prosta l o równaniu \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x-2}\) i punkt \(\displaystyle{ A=(4,-4)}\). Wyznacz współrzędne punktu B symetrycznego do punktu A względem prostej l.

5.Dane są dwa wierzchołki trójkąta \(\displaystyle{ A=(-5,-1), B=(0,-3)}\). Pole tego trójkąta jest równe \(\displaystyle{ 12}\), a wierzchołek \(\displaystyle{ C}\) należy do prostej \(\displaystyle{ y=2x+3}\).Wyznacz współrzędne wierzchołka \(\displaystyle{ C}\).

W czym problem ?
Add. 1 Kiedy dwie proste są równoległe ?

Prosiłbym o rozwiązanie tych zadań ponieważ totalnie nie rozumiem od czego tutaj zacząć.

Wystarczy w pierwszym zadaniu zacząć od wygooglowania kiedy dwie proste są równoległe. Zrób to, napisz ten warunek i zastanów się czy dalej nie rozumiesz.

Niby współczynniki kierunkowe mają się zgadzać ale dalej nie wiem od czego tutaj zacząć. Proszę napisać konkretną odpowiedź bądź bardziej mnie nakierować.

3) Znajdź prostą przechodzącą przez pkt \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) i skorzystaj z tego, że proste są prostopadłe \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) iloczyn ich współczynników kierunkowych \(\displaystyle{ = -1}\)
4) Wyznacz prostą prostopadłą do l przechodzącą przez pkt \(\displaystyle{ A}\), miejsce przecięcia tych prostych oznaczmy B wtedy musi zajść warunek: \(\displaystyle{ \vec{AC}=\vec{CA'}}\) gdzie \(\displaystyle{ A'}\) to obraz punktu \(\displaystyle{ A}\).
5) Skorzystaj ze wzoru: \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \left| det\left( \vec{AB}, \vec{AC}\right) \right|}\)

Oki, więc współczynniki kierunkowe mają być równe. Zapisując prostą w postaci \(\displaystyle{ y =ax + b}\) współczynnikiem kierunkowym nazywamy liczbę \(\displaystyle{ a}\) .W Twoim wypadku są to liczby \(\displaystyle{ m ^{3}-3}\) oraz \(\displaystyle{ m+3}\). Skoro mają one być równe to musi zachodzić równość
\(\displaystyle{ m ^{3}-3 = m+3}\) Teraz pytanie, czy potrafisz rozwiązać taką równość ?

No właśnie takiej równości to nie bardzo.

Równości. Mamy więc równość \(\displaystyle{ m ^{3}-3=m+3}\). Przerzucamy wszystko na jedną stronę, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ m ^{3}-m-6 =0}\). Niech \(\displaystyle{ W(m) = m ^{3}-m-6}\). Szukamy teraz pierwiastków wymiernych wielomianu \(\displaystyle{ W}\). Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych ( wygoogluj sobie to) otrzymujemy, że jeśli nasz wielomian \(\displaystyle{ W}\) ma pierwiastek wymierny, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego, czyli liczby \(\displaystyle{ -6}\). Oczywiście sprawdzając dzielniki tej liczby, dochodzimy do tego, że \(\displaystyle{ W(2) = 0}\), czyli liczba \(\displaystyle{ 2}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\). Teraz z twierdzenia Bezouta ( wygoogluj sobie też) otrzymujemy, że wielomian \(\displaystyle{ W}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ m-2}\)(Naucz się dzielić wielomiany). Po podzieleniu otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ W(m) = (m-2)(m ^{2}+2m+3)}\) Wielomian \(\displaystyle{ Q(m) = m ^{2}+2m+3}\) nie ma pierwiastków ( dlaczego ?). Stąd otrzymujemy, że \(\displaystyle{ W(m) = 0}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow m=2}\)
Ps. Add2.
Napisz równanie ogólne okręgu o współrzędnych środka okręgu \(\displaystyle{ S=(a,b)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\).

W zadaniu drugim nie powinno być: \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2} +10x-12y+52=0}\) zamiast \(\displaystyle{ x^{3}+ y^{3} +10x-12y+52=0}\) ???

Racja błąd. Powinno być tak jak piszesz czyli: \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2} +10x-12y+52=0}\)

W \(\displaystyle{ 2)}\) poszukaj wzorów skróconego mnożenia: \(\displaystyle{ x^2+10x=(x+5)^2 -25}\)
\(\displaystyle{ y^2-12y=...}\) Zrób to samo.