Prawdopodobieństwo warunkowe

[matematyk1]

Mam dwa zadania.
1. Na 100 mężczyzn, zaś na 1000 kobiet 2 są daltonistami. Z grupy, w której stosunek liczby kobiet do liczby mężczyzn wynosi 3:7 wybrano losowo 1 osobę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna, jeśli wiadomo, że wybrana osoba jest daltonistą.
2. W urnie jest 6 kul białych i 4 czarne. Rzucamy 3 razy monetą. Jeżeli reszka wypadnie 3 razy losujemy bez zwracania 3 kule. Jeśli 2 razy to 2 kule. W pozostałych przypadkach 1 kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 1 kuli białej.

W 1 zad. oznaczyłem A i B, gdzie:
A- wybrana osoba jest mężczyzną
B- wybrana osoba jest daltonistą

I tu pojawia się problem, nie wiem jak wyznaczyć prawdopodobieństwo skoro nie mamy konkretnych liczb. We wzorze konieczne jest wyznaczenie części wspólnej, a tutaj mam z nią problem.

[janusz47]

D- wybrana osoba jest daltonistą,
K--wybrana osoba jest kobietą,
M- wybrana osoba jest mężczyzną.

Ze wzoru Pastora Thomasa Bayesa:
\(\displaystyle{ Pr(M|D)=\frac{Pr(M \cap D)}{Pr(D)}= \frac{Pr(M)\cdot Pr(D|M)}{Pr(K)\cdot Pr(D|K)+Pr(M)\cdot Pr(D|M)}}\)
\(\displaystyle{ Pr(M|D)=\frac{\frac{7}{10}\cdot \frac{2}{100}}{\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{1000}+\frac{7}{10}\cdot \frac{2}{100}}.}\)

[matematyk1]

Dzięki bardzo, takich działań na zbiorach nie znałem. Jedyne co znałem to pierwszy iloraz po znaku równości.

W drugim przypadku też zastosować warunkowe? Bo zastanawiałem się by to jakoś obejść.

[janusz47]

W drugim zadaniu stosujesz wzór na prawdopodobieństwo zupełne (całkowite).

Zdarzenia:
3K - losowanie z urny trzech kul,
2K - losowanie z urny dwóch kul,
1K - losowanie z urny jednej kuli,
B - wylosowanie dokładnie jednej kuli białej.

Z twierdzenia o prawdopodobieństwie zupełnym:
\(\displaystyle{ Pr(B)=Pr(3K)Pr(B|3K)+Pr(2K)Pr(B|2K)+Pr(1K)Pr(B|1K).}\)

\(\displaystyle{ Pr(B)=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\cdot \frac{{6\choose 1}{4\choose 2}}{{10\choose 3}}+3\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\cdot \frac{{6\choose 1}{4\choose 1}}{{10\choose2}}+4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3}\cdot \frac{{6\choose 1}{4\choose 0}}{{10\choose 1}}}\)

[matematyk1]

Mam jeszcze pytanie co do pierwszego zadania, czy taka równość jest prawdziwa:
\(\displaystyle{ P(D|M)=P(M|D)}\)

Pytam gdyż tak gwoli ścisłości prawdopodobieństwo powinno być oznaczone jako:
\(\displaystyle{ P(M|D)}\)