kilka rozwiązań równania różniczkowego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
leszczu450
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

kilka rozwiązań równania różniczkowego

Post autor: leszczu450 » 10 mar 2014, o 21:31

Cześć !

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \frac{y}{x} + \tan \frac{y}{x}}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ t= \frac{y}{x}}\). Stąd mamy: \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \frac{dt}{dx}x + t}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \frac{dt}{dx}x + t = t + \tan t \\ \frac{dt}{dx}x= \tan t \\ \frac{dt}{\tan t}= \frac{dx}{x} \\ \int \frac{\cos t}{\sin t} dt = \int \frac{dx}{x} \\ \ln\left| \sin t\right| = \ln \left| Cx\right| \\ \sin t = C_1x \\ \sin \frac{y}{x} = C_1x \\ \frac{y}{x} = \arcsin Cx \\ y = x\arcsin Cx}\)

W odpowiedzi mam jednak takie coś:

\(\displaystyle{ y= x\left(\arcsin Cx + 2k\pi\right)}\) lub \(\displaystyle{ y=x\left( -\arcsin Cx + (2k+1)\pi\right)}\)

Gdzie robię błąd?

Z góry dziękuję za odpowiedzi.

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

kilka rozwiązań równania różniczkowego

Post autor: yorgin » 10 mar 2014, o 22:23

leszczu450 pisze: \(\displaystyle{ \sin \frac{y}{x} = C_1x \\ \frac{y}{x} = \arcsin Cx}\)
Klasyczny błąd, ostatnio na ćwiczeniach studentka nacięła się na tym samym

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sin \frac{y}{x}=\sin \left( \frac{y}{x}+2k\pi\right)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ k\in\ZZ}\). Teraz dopiero zastosuj arcus sinusa.

O ile jest prawdą, że skoro \(\displaystyle{ x=y}\), to \(\displaystyle{ \sin x=\sin y}\), o tyle odwrotnie już nie jest.

Awatar użytkownika
leszczu450
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

kilka rozwiązań równania różniczkowego

Post autor: leszczu450 » 10 mar 2014, o 22:25

yorgin, no dobrze. Ale skąd ten minus?

-- 10 mar 2014, o 22:34 --

I w sumie to nadal nie wiem jaka to powstało, bo:

\(\displaystyle{ \sin\left( \frac{y}{x} + 2k\pi\right)=Cx \\ \frac{y}{x} + 2k\pi = \arcsin Cx \\ y=x\left( \arcsin Cx - 2k\pi\right)}\)

A tam w odpowiedzi jest inaczej.-- 11 mar 2014, o 00:11 --I to samo pytanie odnośnie takiego równania:

\(\displaystyle{ x \frac{dy}{dx}=y+x\cos^2\left( \frac{y}{x} \right) \\ \frac{dy}{dx}= \frac{y}{x} + \cos^2\left( \frac{y}{x} \right) \\ t= \frac{y}{x} \\ \frac{dy}{dx}= \frac{dt}{dx}x +t \\ \frac{dt}{dx}x=\cos^2 t \\ \frac{dt}{\cos^2 t} = \frac{dx}{x} \\ \int \frac{dt}{\cos^2 t} = \int \frac{dx}{x} \\ \tan t = \ln\left| x\right| + C \\ \tan t = \ln \left| Cx\right|\\ \tan\left( t+k\pi\right)= \ln\left| Cx\right| \\ t+k\pi= \arctg\left| \ln\left| Cx\right| \right|\\ t = \arctan\left| \ln\left| Cx\right| \right|-k\pi \\ y= x\left(\arctg\left| \ln\left| Cx\right| \right|-k\pi \right)}\)

Czy to jest poprawne rozwiązanie?

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

kilka rozwiązań równania różniczkowego

Post autor: yorgin » 11 mar 2014, o 00:26

leszczu450 pisze: \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{y}{x} + 2k\pi\right)=Cx \\ \frac{y}{x} + 2k\pi = \arcsin Cx \\ y=x\left( \arcsin Cx - 2k\pi\right)}\)

A tam w odpowiedzi jest inaczej.
Co za różnica, czy jest plus, czy minus, skoro \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\)?

Poza tym, \(\displaystyle{ \sin x=\sin (\pi -x)}\) więc można dostać drugą serię rozwiązań z odpowiedzi.


leszczu450 pisze: I to samo pytanie odnośnie takiego równania:

\(\displaystyle{ x \frac{dy}{dx}=y+x\cos^2\left( \frac{y}{x} \right) \\ \frac{dy}{dx}= \frac{y}{x} + \cos^2\left( \frac{y}{x} \right) \\ t= \frac{y}{x} \\ \frac{dy}{dx}= \frac{dt}{dx}x +t \\ \frac{dt}{dx}x=\cos^2 t \\ \frac{dt}{\cos^2 t} = \frac{dx}{x} \\ \int \frac{dt}{\cos^2 t} = \int \frac{dx}{x} \\ \tan t = \ln\left| x\right| + C \\ \tan t = \ln \left| Cx\right|\\ \tan\left( t+k\pi\right)= \ln\left| Cx\right| \\ t+k\pi= \arctg\left| \ln\left| Cx\right| \right|\\ t = \arctan\left| \ln\left| Cx\right| \right|-k\pi \\ y= x\left(\arctg\left| \ln\left| Cx\right| \right|-k\pi \right)}\)

Czy to jest poprawne rozwiązanie?
Błędu nie widzę, poza linijką \(\displaystyle{ \tan t=\ln|Cx|}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) nie może być tą samą stałą, którą było linijka wyżej.

Awatar użytkownika
leszczu450
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

kilka rozwiązań równania różniczkowego

Post autor: leszczu450 » 11 mar 2014, o 00:35

yorgin, a : ) Zapomniałem powiedzieć, że u nas na ćwiczeniach po prostu nie dbamy o te indeksy przy \(\displaystyle{ C}\). Po prostu dostajemy nowe \(\displaystyle{ C}\), które nazywamy tak samo jak poprzednie. Nie bawimy się po prostu tymi indeksami.

Dziękuję Ci za odpowiedź : )

ODPOWIEDZ