Matematyka.pl

Jak rozłożyć wyrażenie na ułamki proste jeśli mam w mianowniku \(\displaystyle{ (s+2)^{5}}\)?
Chodzi mi o wzór wyjściowy.

\(\displaystyle{ \frac{\text{coś}}{s+2^5}}\) to już jest ułamek prosty.

ale muszę wyliczyć transformatę, to muszę to w inny sposób rozłożyć. a w liczniku mam wielomian stopnia trzeciego.

Jeżeli \(\displaystyle{ w}\) jest wielomianem, to funkcję

\(\displaystyle{ f(s) = \frac{w(s)}{(s+2)^5}}\)

można rozłożyć na czynniki proste w taki sposób: znaleźć taki wielomian \(\displaystyle{ v,}\) że

\(\displaystyle{ w(s) = v(s+2) = v_0 + v_1 (s+2) + \ldots + v_n (s+2)^n}\)

np. przyjmując

\(\displaystyle{ v(s) = w(s-2)}\)

i wymnażając prawą stronę, w której pojawią się czynniki \(\displaystyle{ (s-2)^j.}\) Następnie podstawić:

\(\displaystyle{ { f(s) = \frac{w(s)}{(s+2)^5} = \frac{v_0 + v_1 (s+2) + \ldots + v_n (s+2)^n}{(s+2)^5} = \frac{v_0}{(s+2)^5} + \frac{v_1}{(s+2)^4} + \ldots + v_n (s+2)^{n-5}. }}\)

Prawa strona jest sumą ułamków prostych.