Open Mathematical Olympiad of the Belarusian-Russian Univ
: 25 lut 2014, o 10:53
Co roku w drugiej połowie lutego odbywa się w Mohylewie (na Białorusi) konkurs matematyczny da studentów i doktorantów(!). Do rozwiązania jest 30 zadań. Oceniane są tylko wyniki. Każde zadanie otrzymuje wagę, która jest równa odwrotności liczby uczestników, którzy podali prawidłową odpowiedź. Dalej zamieszczam zadania z tego roku (w trzech kolejnych postach).
BTW, wygrał w tym roku doktorant z Sankt Petersburga, który całą resztę uczestników pozostawił za sobą w tyle. Polacy zdobyli dwa medale, srebrny i brązowy.
sG
-- 25 lutego 2014, 11:04 --
zad.1 Ile razy w ciągu 24h kąt między wskazówkami godzinową i minutową równy będzie \(\displaystyle{ 38^\circ}\) ?
zad.2 Treser dzikich zwierząt ma wprowadzić na arenę cyrku 5 lwów i 4 tygrysy tak, aby żadne dwa tygrysy nie szły jeden tuż po drugim. Na ile sposobów może to uczynić?
UWAGA: na sali padła podpowiedź, że zwierzęta mają imiona, które zna tylko treser.
zad.3 Na płaszczyźnie dany jest 17-kąt foremny \(\displaystyle{ A_1A_2\dots A_{17}}\). Ile można utworzyć trójkątów rozwartokątnych \(\displaystyle{ A_iA_jA_k}\) ?
zad.4 Dla każdej pary liczb całkowitych \(\displaystyle{ (x,y)}\), spełniających równanie \(\displaystyle{ (x^2+y^2)(x-2y+15)=2xy}\), oblicz sumę \(\displaystyle{ x\!+\!y}\). W odpowiedzi podaj największą możliwą sumę.
zad.5 Znajdź sumę pierwiastków równania \(\displaystyle{ 1-|x+1|=\frac{[x]-1}{|x-1|}}\), gdzie \(\displaystyle{ [x]}\) oznacza największą liczbę całkowitą nieprzekraczającą \(\displaystyle{ x}\).
-- 25 lutego 2014, 11:23 --
zad.6 Pierwsze 2014 liczby naturalne (począwszy od 1) zapisano kolejno na okręgu. Następnie wykreślano co drugą liczbę (tj. wykreślono: 2,4,6,...), aż pozostała jedna liczba. Co to za liczba?
zad.7 O funkcji \(\displaystyle{ f}\) określonej na liczbach naturalnych wiadomo, że \(\displaystyle{ f(n)\neq f(m)}\) jeśli \(\displaystyle{ |n-m|}\) jest liczbą pierwszą. Jaka jest najmniejsza liczba wartości tej funkcji (tj. najmniejsza moc zbioru wartości)?
zad.8 Czerwone i zielone punkty zaznaczono na prostej, przy czym przynajmniej po jednym punkcie każdego koloru, tak, że punkty, pomiędzy którymi jest dokładnie 10 lub 15 punktów, są tego samego koloru. Ile najwięcej punktów można w ten sposób zaznaczyć?
zad.9 W trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\) podstawy są równe \(\displaystyle{ AD=30}\), \(\displaystyle{ BC=20}\), a ramiona \(\displaystyle{ AB=6}\), \(\displaystyle{ CD=8}\). Znajdź promień okręgu przechodzącego przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), i stycznego do prostej zawierającej bok \(\displaystyle{ CD}\).
zad.10 W stożek o promieniu podstawy 1 i wysokości 3 wpisano sześcian tak, że jego podstawa zawiera się w podstawie stożka, a pozostałe cztery wierzchołki leżą na powierzchni bocznej. Oblicz długość boku sześcianu.
-- 25 lutego 2014, 11:40 --
zad.11 W środku trójkąta równobocznego o boku 1 stoi ul. Jeden z boków trójkąta pokryty jest miodem, drugi dżemem, a trzeci posypany cukrem. Znajdź długość najkrótszej drogi, którą musi pokonać pszczoła, która wylatuje z ula, próbuje miodu, dżemu i cukru, a następnie wraca do ula.
zad.12 Z trzech punktów oddalonych od podstawy wieży o 36m, 72m i 108m widać tę wieżę pod kątami, których suma wynosi \(\displaystyle{ 90^\circ}\). Oblicz wysokość wieży (w metrach).
zad.13 Dwa pociągi wyruszają w tym samym momencie z punktu A do punktu B. Na początku poruszają się ruchem jednostajnie przyspieszonym (początkowa prędkość równa jest zero, przyspieszenia są różne), po czym po osiągnięciu ustalonej (i różnej) prędkości poruszają się ruchem jednostajnym. Iloraz prędkości obu pociągów w ruchu jednostajnym wynosi 2. Po pokonaniu ćwierci dystansu od A do B pociągi spotykają się, a w tym momencie prędkość jednego jest półtora raza większa od prędkości drugiego. Oblicz iloraz czasów, w których pociągi te pokonały drogę od A do B.
zad.14 W kwadracie składającym się z \(\displaystyle{ 7\!\times\!7}\) kwadratowych komórek należy zaznaczyć środki \(\displaystyle{ k}\) komórek tak, aby żadne cztery zaznaczone punkty nie były wierzchołkami prostokąta o bokach równoległych do boku kwadratu. Jaka jest największa możliwa liczba \(\displaystyle{ k}\) ?
zad.15 Macierz, której wyrazy równe są 0 lub 1, nazywa się macierzą binarną. Ile wynosi największa liczba jedynek, jaką może posiadać odwracalna macierz binarna wymiaru 10x10?
-- 25 lutego 2014, 14:46 --
zad.16 Kwadratową macierz \(\displaystyle{ A}\) nazywamy ortogonalną, jeśli \(\displaystyle{ A^TA=I}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) oznacza macierz jednostkową. Oblicz sumę kwadratów minorów stopnia 2go (tj. wymiaru 2x2) macierzy ortogonalnej wymiaru 20x20.
zad.17 Niech \(\displaystyle{ f(x,y,z)=2x^2+2y^2-2z^2+\frac7{xy}+\frac1z}\). Oblicz \(\displaystyle{ n}\), jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ n=f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b)}\) dla pewnych parami różnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b, c.}\)
zad.18 Oblicz pole powierzchni elipsy o najmniejszym polu powierzchni, opisanej na trójkącie równoramiennym o podstawie \(\displaystyle{ 9\sqrt{3}}\) i wysokości \(\displaystyle{ 5}\).
zad.19 Oblicz granicę \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to0}\frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^3}\,.}\)
zad.20 Oblicz granicę \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac1{C^k_n}\right)^n\,.}\) UWAGA: \(\displaystyle{ C^k_n}\) oznacza liczbę kombinacji \(\displaystyle{ k}\)-elementowych w zbiorze \(\displaystyle{ n}\)-elementowym.
-- 25 lutego 2014, 15:06 --
zad.21 Niech \(\displaystyle{ x_0=2014}\), \(\displaystyle{ x_1=2015}\), oraz \(\displaystyle{ x_n=\big(1+\frac1n\big)x_{n-1}+\frac1nx_{n-2}}\) dla \(\displaystyle{ n=2,3,\dots}\) Oblicz \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}x_n\,.}\)
zad.22 Oblicz wartość całki \(\displaystyle{ \int\limits_{-1}^{1}\,x^{2013}\,\ln(1+e^x)\,dx\,.}\)
zad.23 Niech \(\displaystyle{ t=f(x)}\) będzie rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ t^5+t=x}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\). Oblicz wartość całki \(\displaystyle{ \int\limits_0^2\,f(x)\,dx\,.}\)
zad.24 \(\displaystyle{ y=\frac1{x^2-20x+99}\,.}\) Oblicz \(\displaystyle{ y^{(8)}(10)\,.}\) UWAGA: \(\displaystyle{ y^{(n)}}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-tą pochodną z funkcji \(\displaystyle{ y}\).
zad.25 Oblicz całkę \(\displaystyle{ \int\limits_0^{+\infty}\,\frac{\arc\tg3x-\arc\tg9x}x\,dx\,.}\)
-- 25 lutego 2014, 16:15 --
zad.26 Oblicz objętość figury ograniczonej paraboloidą \(\displaystyle{ z=x^2+y^2}\) i płaszczyzną \(\displaystyle{ z=x+y}\).
zad.27 Powietrze w pokoju o objętości \(\displaystyle{ 200m^3}\) zawiera \(\displaystyle{ 0,15\%}\) dwutlenku węgla \(\displaystyle{ CO_2}\). Wentylator w ciągu minuty wymienia \(\displaystyle{ 20m^3}\) na powietrze zawierające \(\displaystyle{ 0,04\%\ CO_2}\). W jakim czasie (w minutach) stężenie dwutlenku węgla \(\displaystyle{ CO_2}\) w pokoju spadnie trzykrotnie? UWAGA: przyjmujemy, że wentylator działa jednostajnie.
zad.28 Znajdź sumę szeregu \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^{+\infty}\,\frac{4^n\,(2n+1)}{n!}\,.}\)
zad.29 Niech \(\displaystyle{ x_1,x_2,\dots,x_{2014}}\) będą rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x^{2014}+x^{2013}+\cdots+x+1=0}\). Oblicz \(\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{2014}\,\frac1{1-x_k}\,.}\)
zad.30 Oblicz wartość całki \(\displaystyle{ \int\limits_0^{+\infty}\,\frac{x^2-4}{x^2+4}\,\frac{\sin2x}{x}\,dx\,.}\)
BTW, wygrał w tym roku doktorant z Sankt Petersburga, który całą resztę uczestników pozostawił za sobą w tyle. Polacy zdobyli dwa medale, srebrny i brązowy.
sG
-- 25 lutego 2014, 11:04 --
zad.1 Ile razy w ciągu 24h kąt między wskazówkami godzinową i minutową równy będzie \(\displaystyle{ 38^\circ}\) ?
zad.2 Treser dzikich zwierząt ma wprowadzić na arenę cyrku 5 lwów i 4 tygrysy tak, aby żadne dwa tygrysy nie szły jeden tuż po drugim. Na ile sposobów może to uczynić?
UWAGA: na sali padła podpowiedź, że zwierzęta mają imiona, które zna tylko treser.
zad.3 Na płaszczyźnie dany jest 17-kąt foremny \(\displaystyle{ A_1A_2\dots A_{17}}\). Ile można utworzyć trójkątów rozwartokątnych \(\displaystyle{ A_iA_jA_k}\) ?
zad.4 Dla każdej pary liczb całkowitych \(\displaystyle{ (x,y)}\), spełniających równanie \(\displaystyle{ (x^2+y^2)(x-2y+15)=2xy}\), oblicz sumę \(\displaystyle{ x\!+\!y}\). W odpowiedzi podaj największą możliwą sumę.
zad.5 Znajdź sumę pierwiastków równania \(\displaystyle{ 1-|x+1|=\frac{[x]-1}{|x-1|}}\), gdzie \(\displaystyle{ [x]}\) oznacza największą liczbę całkowitą nieprzekraczającą \(\displaystyle{ x}\).
-- 25 lutego 2014, 11:23 --
zad.6 Pierwsze 2014 liczby naturalne (począwszy od 1) zapisano kolejno na okręgu. Następnie wykreślano co drugą liczbę (tj. wykreślono: 2,4,6,...), aż pozostała jedna liczba. Co to za liczba?
zad.7 O funkcji \(\displaystyle{ f}\) określonej na liczbach naturalnych wiadomo, że \(\displaystyle{ f(n)\neq f(m)}\) jeśli \(\displaystyle{ |n-m|}\) jest liczbą pierwszą. Jaka jest najmniejsza liczba wartości tej funkcji (tj. najmniejsza moc zbioru wartości)?
zad.8 Czerwone i zielone punkty zaznaczono na prostej, przy czym przynajmniej po jednym punkcie każdego koloru, tak, że punkty, pomiędzy którymi jest dokładnie 10 lub 15 punktów, są tego samego koloru. Ile najwięcej punktów można w ten sposób zaznaczyć?
zad.9 W trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\) podstawy są równe \(\displaystyle{ AD=30}\), \(\displaystyle{ BC=20}\), a ramiona \(\displaystyle{ AB=6}\), \(\displaystyle{ CD=8}\). Znajdź promień okręgu przechodzącego przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), i stycznego do prostej zawierającej bok \(\displaystyle{ CD}\).
zad.10 W stożek o promieniu podstawy 1 i wysokości 3 wpisano sześcian tak, że jego podstawa zawiera się w podstawie stożka, a pozostałe cztery wierzchołki leżą na powierzchni bocznej. Oblicz długość boku sześcianu.
-- 25 lutego 2014, 11:40 --
zad.11 W środku trójkąta równobocznego o boku 1 stoi ul. Jeden z boków trójkąta pokryty jest miodem, drugi dżemem, a trzeci posypany cukrem. Znajdź długość najkrótszej drogi, którą musi pokonać pszczoła, która wylatuje z ula, próbuje miodu, dżemu i cukru, a następnie wraca do ula.
zad.12 Z trzech punktów oddalonych od podstawy wieży o 36m, 72m i 108m widać tę wieżę pod kątami, których suma wynosi \(\displaystyle{ 90^\circ}\). Oblicz wysokość wieży (w metrach).
zad.13 Dwa pociągi wyruszają w tym samym momencie z punktu A do punktu B. Na początku poruszają się ruchem jednostajnie przyspieszonym (początkowa prędkość równa jest zero, przyspieszenia są różne), po czym po osiągnięciu ustalonej (i różnej) prędkości poruszają się ruchem jednostajnym. Iloraz prędkości obu pociągów w ruchu jednostajnym wynosi 2. Po pokonaniu ćwierci dystansu od A do B pociągi spotykają się, a w tym momencie prędkość jednego jest półtora raza większa od prędkości drugiego. Oblicz iloraz czasów, w których pociągi te pokonały drogę od A do B.
zad.14 W kwadracie składającym się z \(\displaystyle{ 7\!\times\!7}\) kwadratowych komórek należy zaznaczyć środki \(\displaystyle{ k}\) komórek tak, aby żadne cztery zaznaczone punkty nie były wierzchołkami prostokąta o bokach równoległych do boku kwadratu. Jaka jest największa możliwa liczba \(\displaystyle{ k}\) ?
zad.15 Macierz, której wyrazy równe są 0 lub 1, nazywa się macierzą binarną. Ile wynosi największa liczba jedynek, jaką może posiadać odwracalna macierz binarna wymiaru 10x10?
-- 25 lutego 2014, 14:46 --
zad.16 Kwadratową macierz \(\displaystyle{ A}\) nazywamy ortogonalną, jeśli \(\displaystyle{ A^TA=I}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) oznacza macierz jednostkową. Oblicz sumę kwadratów minorów stopnia 2go (tj. wymiaru 2x2) macierzy ortogonalnej wymiaru 20x20.
zad.17 Niech \(\displaystyle{ f(x,y,z)=2x^2+2y^2-2z^2+\frac7{xy}+\frac1z}\). Oblicz \(\displaystyle{ n}\), jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ n=f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b)}\) dla pewnych parami różnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b, c.}\)
zad.18 Oblicz pole powierzchni elipsy o najmniejszym polu powierzchni, opisanej na trójkącie równoramiennym o podstawie \(\displaystyle{ 9\sqrt{3}}\) i wysokości \(\displaystyle{ 5}\).
zad.19 Oblicz granicę \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to0}\frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^3}\,.}\)
zad.20 Oblicz granicę \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac1{C^k_n}\right)^n\,.}\) UWAGA: \(\displaystyle{ C^k_n}\) oznacza liczbę kombinacji \(\displaystyle{ k}\)-elementowych w zbiorze \(\displaystyle{ n}\)-elementowym.
-- 25 lutego 2014, 15:06 --
zad.21 Niech \(\displaystyle{ x_0=2014}\), \(\displaystyle{ x_1=2015}\), oraz \(\displaystyle{ x_n=\big(1+\frac1n\big)x_{n-1}+\frac1nx_{n-2}}\) dla \(\displaystyle{ n=2,3,\dots}\) Oblicz \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}x_n\,.}\)
zad.22 Oblicz wartość całki \(\displaystyle{ \int\limits_{-1}^{1}\,x^{2013}\,\ln(1+e^x)\,dx\,.}\)
zad.23 Niech \(\displaystyle{ t=f(x)}\) będzie rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ t^5+t=x}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\). Oblicz wartość całki \(\displaystyle{ \int\limits_0^2\,f(x)\,dx\,.}\)
zad.24 \(\displaystyle{ y=\frac1{x^2-20x+99}\,.}\) Oblicz \(\displaystyle{ y^{(8)}(10)\,.}\) UWAGA: \(\displaystyle{ y^{(n)}}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-tą pochodną z funkcji \(\displaystyle{ y}\).
zad.25 Oblicz całkę \(\displaystyle{ \int\limits_0^{+\infty}\,\frac{\arc\tg3x-\arc\tg9x}x\,dx\,.}\)
-- 25 lutego 2014, 16:15 --
zad.26 Oblicz objętość figury ograniczonej paraboloidą \(\displaystyle{ z=x^2+y^2}\) i płaszczyzną \(\displaystyle{ z=x+y}\).
zad.27 Powietrze w pokoju o objętości \(\displaystyle{ 200m^3}\) zawiera \(\displaystyle{ 0,15\%}\) dwutlenku węgla \(\displaystyle{ CO_2}\). Wentylator w ciągu minuty wymienia \(\displaystyle{ 20m^3}\) na powietrze zawierające \(\displaystyle{ 0,04\%\ CO_2}\). W jakim czasie (w minutach) stężenie dwutlenku węgla \(\displaystyle{ CO_2}\) w pokoju spadnie trzykrotnie? UWAGA: przyjmujemy, że wentylator działa jednostajnie.
zad.28 Znajdź sumę szeregu \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^{+\infty}\,\frac{4^n\,(2n+1)}{n!}\,.}\)
zad.29 Niech \(\displaystyle{ x_1,x_2,\dots,x_{2014}}\) będą rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x^{2014}+x^{2013}+\cdots+x+1=0}\). Oblicz \(\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{2014}\,\frac1{1-x_k}\,.}\)
zad.30 Oblicz wartość całki \(\displaystyle{ \int\limits_0^{+\infty}\,\frac{x^2-4}{x^2+4}\,\frac{\sin2x}{x}\,dx\,.}\)