Matematyka.pl

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) ok. Załóżmy więc, że dla \(\displaystyle{ 1,2, \ldots , n}\) działa i pokażemy, że jak dorzucimy liczbę \(\displaystyle{ \sqrt{x_{n+1}}}\), to nadal będzie dobrze. Jeśli któraś z liczb \(\displaystyle{ \sqrt{x_i}}\) jest wymierna, to problem redukujemy do niższego \(\displaystyle{ n}\), zatem indukcja pracuje. Załóżmy, że dla żadnego \(\displaystyle{ i}\) liczba \(\displaystyle{ \sqrt{x_i}}\) nie jest wymierna. Rozważmy wobec tego ciało \(\displaystyle{ \mathbb{Q}[\sqrt{x_{n+1}}]}\). Należą do niego wszystkie liczby postaci \(\displaystyle{ a_i + b_i \sqrt{x_{n+1}}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_i, b_i}\) są wymierne. Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ i}\) mamy \(\displaystyle{ \sqrt{x_i} = a_i + b_i \sqrt{x_{n+1}}}\), co po malutkich manipulacjach daje \(\displaystyle{ \sqrt{x_{n+1}} = \frac{x_i - a_i^2 - b_i^2x_{n+1}}{2a_ib_i} \in \mathbb{Q}}\), co jest sprzeczne z założeniem, że \(\displaystyle{ \sqrt{x_{n+1}}}\) nie jest wymierne. No ale skoro \(\displaystyle{ b_i \neq 0}\), to musi być \(\displaystyle{ a_i= 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ i}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ \sqrt{x_i} = b_i \sqrt{x_{n+1}}}\), czyli \(\displaystyle{ s=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\ldots+\sqrt{x_n}+\sqrt{x_{n+1}}=(b_1+b_2+\ldots + b_n + 1) \sqrt{x_{n+1}}}\). Z założenia \(\displaystyle{ s \in \mathbb{Q}}\), poza tym \(\displaystyle{ b_1+b_2+\ldots+b_n+1 \neq 0}\), zatem \(\displaystyle{ \sqrt{x_{n+1}}=\frac{s}{b_1+b_2+\ldots+b_n+1} \in \mathbb{Q}}\) znowu wbrew założeniu. Oznacza to, że co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ \sqrt{x_i}}\) jest wymierna i znowu cofamy się do sytuacji załatwionej przez założenie indukcyjne.