Nie wprost, załóżmy że jest to liczba wymierna.
Wówczas istnieją liczby całkowite
\(\displaystyle{ p,q, q \neq 0}\) że
\(\displaystyle{ a=\frac{p}{q}}\)
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ a=\frac{x^{2}+y-y^{2}-x}{\sqrt{x^{2}+y}+\sqrt{y^{2}+x}}}\)
Wobec tego wymierna jest liczba
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y}+\sqrt{y^{2}+x}}\) albo
\(\displaystyle{ x^{2}+y-y^{2}-x=0}\). Drugi przypadek po uwzględnieniu, że
\(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{Z}_{+}}\) daje
\(\displaystyle{ x=y}\), ale to nie jest możliwe. Zatem wymierna jest liczba
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y}+\sqrt{y^{2}+x}}\), a w konsekwencji wymierne są liczby
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y}}\) oraz
\(\displaystyle{ \sqrt{y^{2}+x}}\).
Teraz można użyć znanego faktu, tysiąc razy dowodzonego na forum, mianowicie:
Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ n \in Z_{+} \cup \left\{ 0\right\}}\) jest wymierna wtedy i tylko wtedy gdy jest całkowita.
Wobec tego obie wcześniej wymienione liczby muszą być całkowite. Stąd istnieją
\(\displaystyle{ k,l \in \ZZ}\), że
\(\displaystyle{ x^{2}+y=k^{2}}\) oraz
\(\displaystyle{ y^{2}+x=l^{2}}\).
Załóżmy najpierw, że
\(\displaystyle{ x>y}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ x^{2}<x^{2}+y<x^{2}+x<x^{2}+2x+1=\left( x+1\right)^{2}}\), zatem liczba
\(\displaystyle{ x^{2}+y}\) nie może być kwadratem liczby całkowitej.
Podobnie gdy
\(\displaystyle{ x<y}\) to mamy:
\(\displaystyle{ y^{2}<y^{2}+x<y^{2}+y<y^{2}+2y+1=\left( y+1\right)^{2}}\), zatem liczba
\(\displaystyle{ y^{2}+x}\) nie może być kwadratem liczby całkowitej.
W obu przypadkach otrzymaliśmy sprzeczność, która dowodzi, że liczba
\(\displaystyle{ a}\) jest niewymierna.
\(\displaystyle{ \square}\)