Matematyka.pl

Mam obliczyć pole figury ograniczonej osiami układu i krzywą:
\(\displaystyle{ y^{3}+x^{3}=y^{2}+x^{2}}\)
Jak zacząć to zadanie? Trzeba pewnie zrobić jakieś podstawienie, tyle, że zupełnie nie mam pomysłu, proszę o pomoc. Pole trzeba będzie policzyć ze wzoru Greena.

Proponuję współrzędne biegunowe.

Wzór Greena:
\(\displaystyle{ D=\frac{1}{2}\int_{K}^{}xdy-ydx}\)
\(\displaystyle{ x=r \cos{t}}\)
\(\displaystyle{ y=r \sin{t}}\)
\(\displaystyle{ r \in [0;1]}\)
\(\displaystyle{ t \in [0;\frac{\pi}{2}]}\)
Podstawiając w ten sposób wychodzi mi 0.5, a odpowiedź to:
\(\displaystyle{ |D|=\frac{1}{3}+\frac{4 \pi}{9\sqrt{3}}}\)

Podany przez Ciebie wzór nie jest wzorem Greena, tylko całką krzywoliniową.

Powyższe równania opisują współrzędne biegunowe, ale nie są postacią parametryczną krzywej, którą można podstawić do całki. Proponuję zastosować współrzędne biegunowe i zapisać w nich równanie \(\displaystyle{ x^3+y^3=x^2+y^2}\).

\(\displaystyle{ r^{3}(\sin{t})^3+r^{3}(\cos{t})^3=r^{2}}\)
wzór Greena:
\(\displaystyle{ \int_{D}^{} \int_{}^{} (Q_{x}-P_{y})dxdy}\)
\(\displaystyle{ r^{2}[(r(\sin{t})^{3}+r(\cos{t})^{3}-1]=0}\)
z tego wychodzi \(\displaystyle{ r=0 \vee r=\frac{1}{(\sin{t})^{3}+(\cos{t})^{3}}}\)
Co dalej z tym zrobić?