Matematyka.pl

1. Znaleźć granicę ciągu zadanego rekurencyjnie wzorami:
\(\displaystyle{ a_1 = \alpha, a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n+\frac{5}{a_n}\right)}\), dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\), dla \(\displaystyle{ \alpha = 2}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha=3}\).
2. (Prostsze) Zbadać, czy ciąg zadany wzorem jest zbieżny:
\(\displaystyle{ a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}}\)

ad 1. Chodzi mi o podanie sposobu w jaki powinienem tego typu zadania rozwiązywać (ciągi rekurencyjne), gdyż nie byłem na zajęciach gdy ten temat był omawiany. Mógłbym obliczyc pierwsze kilka wyrazów a następnie zobaczyć jak sie zachowują, ale z ciągami rekurencyjnymi już jest tak, ze bardzo często w pewnym miejscu wyskakują ponad całą resztę, potem spadają i tak w nieskończoność.
ad 2. Doszedłem do wniosku, żeby wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach i ograniczyć przez:
\(\displaystyle{ n \cdot \frac{1}{2n} \le \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n} \le n \cdot \frac{1}{n}}\)
W wyniku czego dostanę:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n} \le 1}\)
więc za wiele to nie pomogło. Prosiłbym o wszelkie sugestie (a zwłaszcza sposoby rozwiązywania zadań typu podpunktu a) - może być odwołanie do jakiejś strony czy czegoś tego rodzaju)

1) Zamieszczam przykładowe rozwiązanie, strona 5. 2)

więc za wiele to nie pomogło

to rozwiązało zadanie

Dziękuję za odpowiedź.

kamil13151 pisze:2)

więc za wiele to nie pomogło

to rozwiązało zadanie

czyli po prostu koniec? Ponieważ samo użycie twierdzenia o trzech ciągach i nie dojściu do zbieżności szczerze mnie nie przekonuje. Przecież może istnieje jakis inny ciąg który to ograniczy albo użycie innej metody, za pomocą której określimy czy szereg jest zbieżny/rozbieżny?

PS: Przepraszam za kłopot, jednakże jeżeli bym dodał do pierwszego postu w tym temacie dodatkowe zadania - spowodowałbym, że osoby które już widziały ten temat nie zauważyłyby zmiany pierwszego postu - w wyniku czego możliwe byłoby, że nikt by nie odpowiedział.
EDIT
Przepraszam, nie zauważyłem przeniesienia postu do nowego tematu

Jest ograniczony i rosnący zatem zbieżny.

Jest ograniczony i rosnący zatem zbieżny.

Czyli jeżeli dobrze rozumiem, to muszę zbadać czy ciąg jest ograniczony i rosnący/malejący, żeby stwierdzić czy jest zbieżny?
To takie jeszcze jedno pytanie dotyczące tego ciągu: czy obliczenie tej granicy jest w miare proste, czy trzebaby poświęcić dłuższej chwili w tym celu?

Obliczenie tej granicy jest dość trudne.

Jest ograniczony i rosnący zatem zbieżny.

To, czy jest rosnący wcale nie jest oczywiste: wyrazów w kolejnej sumie jest co prawda więcej, ale są one mniejsze.

Ten ciąg jest malejący, rozpatrzmy nierówność:
\(\displaystyle{ a _{n} > a _{n+1} \\ \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n} >
\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}}\)
upraszczając składniki występujące po obu stronach:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} > \frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2} \\ \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n} > \frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}}\)
Ta nierówność jest spełniona dla wszytkich \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\)

Astose pisze: To takie jeszcze jedno pytanie dotyczące tego ciągu: czy obliczenie tej granicy jest w miare proste, czy trzebaby poświęcić dłuższej chwili w tym celu?

To zależy na ile chcesz wszystko sam wyprowadzić, a na ile skorzystasz z gotowych rezultatów.
Wyraz ogólny ciągu można przedstawić jako różnicę dwóch liczb harmonicznych:
\(\displaystyle{ a _{n}=H _{2n}-H _{n-1}}\)
Korzystając ze wzoru:
\(\displaystyle{ H _{n}=\ln n+ \gamma+\epsilon _{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \epsilon _{n} \rightarrow 0}\) gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) (ponadto \(\displaystyle{ \epsilon _{n}\sim \frac{1}{2n}}\) ale to jest nieistotne w naszym przypadku)
obliczenie granicy jest trywialne i wynosi ona \(\displaystyle{ \ln 2}\), ale wyprowadzenie wzoru na \(\displaystyle{ H _{n}}\) jest dużo trudniejsze.