Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int \frac{x^{3}}{1+x^{2010}} \dx}\) dx

Proszę o jakąś podpowiedź, zupełnie nie wiem w jaki sposób to rozwiązać.

izak110, kurcze! Też męczę się przez Ciebie z tą całką !

Póki co wpadlem jedynie na podstawienie:

\(\displaystyle{ x^4=t \\ x^{2010}= t^{502,5} \\ 4x^3 dx= dt \\ x^3 dx = \frac{1}{4}dt}\)

Wtedy mamy:

\(\displaystyle{ \int \frac{x^{3}}{1+x^{2010}} \dd x= \frac{1}{4} \int \frac{dt}{1+ t^{502,5}}}\)

Próbuje to jakoś może wyciągnąć na arcusatangensa ale nie idzie mi... Może ktoś podpowie? Tylko nie dawajcie gotowego rozwiązania. Szkoda zabawy.

Całka jest dość nieprzyjemna ze względu na potęgę w mianowniku. Mathematica wyrzuca masakrycznie długi wynik. Moja propozycja to może zapisanie całki rekurencyjnie. Może uda się znaleźć wzór ogólny.
--------
EDIT:
Cytując za I.S. Gradsztejn, I.M. Ryzhyk "Tablicy integralov, summ, riadov i proizviedienij", Moskwa 1963:
Dla \(\displaystyle{ m,n\in Z \wedge m<2n}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{x^{m-1}}{1+x^{2n}} \mbox{d}x \\=-\frac{1}{2n}\sum\limits_{k=1}^n \cos\frac{m\pi (2k-1)}{2n}\ln\left(1-2x\cos\frac{2k-1}{2n}\pi +x^2\right)+\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n \sin\frac{m\pi (2k-1)}{2n}\arctan\frac{x-\cos\frac{2k-1}{2n}\pi}{\sin\frac{2k-1}{2n}\pi}}\)

rtuszyns, szok... naprawde nie można tego inaczej policzyć? Jestem strasznie ciekawy. Czy są własnie jawne wzory na dowolną potęge przy iksie? Mam na myśli takie samo wyrażenie jak w danej calce tyle, że inna potęga niż \(\displaystyle{ 2010}\).

Tak, jest jeszcze wzór dla potęgi naturalnej nieparzystej w mianowniku.
Książka, z której pochodzi ten wzór jest dość stara (i dość gruba) ale jest bardzo dobra i muszę przyznać, że wielokrotnie się przydała. Książka ta to był prezent od koleżanki i tylko się cieszyć z takich prezentów.

Raczej poniższa wiadomość nie będzie zbytnio użyteczna, gdy chce się mieć funkcję wyrażoną za pomocą funkcji elementarnych, tym niemniej:

\(\displaystyle{ \frac{x^3}{1+x^{2010}}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n x^{2010 n + 3}}\)

Całkując wyraz po wyrazie:

\(\displaystyle{ \int\frac{x^3}{1+x^{2010}}\mbox{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\int(-1)^n x^{2010 n + 3}\mbox{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2010 n+4}}{2010 n+4}+C}\)

Co jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4} x^4 \, _2F_1\left(\frac{2}{1005},1;\frac{1007}{1005};-x^{2010}\right)+C}\), z czego można przejść na wzór podany przez rtuszynsa po niekrótkiej zabawie.