Matematyka.pl

Rzucamy kostką tyle razy aż dostaniemy siódmy raz dwa oczka. Niech X oznacza liczbę wykonanych rzutów. Oblicz:
a)\(\displaystyle{ E\left[ X\right]}\)
b)\(\displaystyle{ Var\left[ 5X\right]}\)
c) \(\displaystyle{ Pr\left[ X=14\right]}\)
Jest to rozkład geometryczny jeśli dobrze zakładam
a) \(\displaystyle{ E\left[ X\right]=7 \cdot \frac{1}{ \frac{1}{6} } =42}\)
b)\(\displaystyle{ Var\left[ 5 X\right] =25 \cdot Var\left[ X\right] =25 \cdot (Var\left[ X _{1} \right] +Var\left[ X _{2} \right]+..+Var\left[ X _{7} \right] )=25 \cdot \frac{1- \frac{1}{6} }{\left( \frac{1}{6} \right) ^{2} } +\frac{1- \frac{1}{6} }{\left( \frac{1}{6} \right) ^{2} } + ... +\frac{1- \frac{1}{6} }{\left( \frac{1}{6} \right) ^{2} }}\)

c)\(\displaystyle{ Pr\left[ X=14\right]= \frac{1}{6} \cdot \left( 1- \frac{1}{6} \right) ^{14-1}}\)

Teraz pytanie czy dobrze rozwiazałem zadanie?

Nie wiem czy jest to rozkład geometryczny. Byłby taki, gdybyśmy powtarzali doświadczenie do pierwszego sukcesu. Wiem natomiast, że aby \(\displaystyle{ X=n}\) (gdzie \(\displaystyle{ n\ge 7}\)), musimy w pierwszych \(\displaystyle{ n-1}\) rzutach odnieść \(\displaystyle{ 6}\) sukcesów i w ostatnim rzucie (czyli \(\displaystyle{ n}\)-tym) też sukces. Oblicz prawdopodobieństwo takiego zdarzenia. Oczywiście \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ 7,8,9,\dots}\).

No ok, ale wartośc oczekiwana że raz wyrzucimy dwa oczka to 6, wiec to ze wyrzucimy 7 razy dwa oczka to by wychodziło \(\displaystyle{ 7 \cdot 6}\). Myśle że to samo można by zrobić z wariancją gdzie każda \(\displaystyle{ Var[X _{n}]}\) to wariancja ilości potrzeby rzutów kostką by wypadły 2 oczka

Rozkład to

\(\displaystyle{ P(X=n) = {n-1 \choose 6}p^{7}(1-p)^{n-7}}\) dla \(\displaystyle{ n=7,8,9,...}\)