Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X_{n}=(x_{1},...,x_{n})}\) bedzie próbą z rozkładu wykładniczego o parametrze \(\displaystyle{ \lambda \ > 0}\). Pokazać że estymator \(\displaystyle{ T(X_{n})= n \cdot x_{1}}\) parametru \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}}\) nie jest zgodny.
Czyli trzeba sprawdzić że nie zachodzi rzecz następująca?
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } P(|nx_{1} - \frac{1}{\lambda} | < \epsilon) = 1}\)
Jak to dalej liczyć?

Twój wzór jest na słabą zgodność, ale jeśli nie jest słabo zgodny, to tym bardziej nie jest zgodny.

Hp: jest słabo zgodny.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } P\left(|nx_{1} - \frac{1}{\lambda} | < \epsilon \right) = \lim_{n \to \infty } P\left(\frac{1}{\lambda}-\epsilon < nx_1 < \frac{1}{\lambda}+\epsilon\right)=1}\)

Mając ustalone \(\displaystyle{ \epsilon}\), granice przedziału są stałe, natomiast \(\displaystyle{ nx_1 \rightarrow \infty (n\rightarrow \infty)}\).
Zatem \(\displaystyle{ \exists n_0 \forall n>n_o: nx_1 \not\in \left(\frac{1}{\lambda}-\epsilon ; \frac{1}{\lambda}+\epsilon\right)}\)

Zbiór argumentów, dla których ciąg nie wpada do przedziału: \(\displaystyle{ W: P(W)>0}\).

To powinno dać sprzeczność.