Rozwiąż równanie logarytmiczne log_2(x)+2\sqrt{log_2(x)}

[Nefertiti]

Mam takie równanko:

\(\displaystyle{ \log_2x+2\sqrt{\log_2x}=8}\)

Rozwiązywałam to tak:
Założenia:

\(\displaystyle{ x>0\, \, \log_2x\geq 0}\)

\(\displaystyle{ x\geq 1}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ 2\cdot \sqrt{\log_2x}=8-\log_2x}\)

\(\displaystyle{ 4\log_2x=64-16\log_2x+(\log_2x)^2}\)

\(\displaystyle{ (\log_2x)^2-20\log_2x+64=0}\)

Układ równań:

\(\displaystyle{ \log_2x=t}\)

\(\displaystyle{ t^2-20t+64=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=400-256=144}\)

\(\displaystyle{ t_1=4\, \, t_2=16}\)

\(\displaystyle{ \log_2x=4\, \, \log_2x=16}\)

\(\displaystyle{ x=16\, \, x=65536}\)

Rozwiązaniem może być tylko x=16, ale nie wiem, dlaczego otrzymałam jeszcze drugą możliwość. Czy popełniłam gdzieś błąd? Czy może weryfikacji rozwiązania dokonujemy dopiero na końcu, podstawiając do postaci wyjściowej równania?

[Tomasz Rużycki]

Eh... Zapoznaj się z oznaczeniami.... Poprawiłem...

Kod: Zaznacz cały

<sub>DOLNY INDEKS</sub>
<sup>GÓRNY INDEKS</sup>
sqrt - pierwiastek kwadratowy

Odnośnie zadania: Przy podnoszeniu równania stronami do kwadratu dodałeś pierwiastek. Taka metoda nazywa się "analiza starożytnych" - po rozwiązaniu musisz po prostu sprawdzić, czy wynik się zgadza.

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[Nefertiti]

Dzięki za poprawki i za pomoc. Obiecuję, że zajrzę do oznaczeń.

[bisz]

16 spełnia warunki równania, a to drugie nie. :/

[Zlodiej]

Moze inaczej to zrobić ... wtedy lepiej widać

Dziedzina już ustalona. Przejdźmy do równania:

Przyjmijmy, ze \(\displaystyle{ t=\sqrt{\log_{2}x}}\)

Mamy wtedy równanie:

\(\displaystyle{ t^2+2t-8=0}\)

\(\displaystyle{ (t-2)(t+4)=0}\)

Czyli

\(\displaystyle{ \sqrt{\log_{2}x}=2}\) lub \(\displaystyle{ \sqrt{\log_{2}x}=-4}\)

W drugim mamy sprzeczność ponieważ pierwiastek jest zawsze liczbą dodatnią zostaje tylko \(\displaystyle{ x=16}\).

[Nefertiti]

No proszę, to mi się podoba.