Matematyka.pl

Pochodna kierunkowa funkcji f (różniczkowalnej w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ \left( x _{0},y _{0} \right)}\)) w punkcie \(\displaystyle{ \left( x _{0},y _{0} \right)}\) w kierunku wersora \(\displaystyle{ v _{1} = \left[ \frac{ \sqrt{2} }{2}, \frac{ \sqrt{2} }{2} \right]}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\) a w kierunku wersora \(\displaystyle{ v _{2} = \left[ - \frac{ \sqrt{2} }{2}, \frac{ \sqrt{2} }{2} \right]}\) ma wartość \(\displaystyle{ 0}\). Wyznaczyć pochodną tej funkcji w kierunku wersora \(\displaystyle{ v = \left[ 1,0\right]}\).

Nie wiem jak się za to zabrać.

Pochodna kierunkowa funkcji jest równa iloczynowi skalarnemu gradientu funkcji i wersora, w kierunku którego liczymy pochodną. Korzystając z tego możesz na podstawie danych zapisać dwa równania, gdzie niewiadome są wartości pochodnych cząstkowych funkcji \(\displaystyle{ f}\) względem \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) w punkcie \(\displaystyle{ \left( x_{0},y _{0} \right)}\). Mamy zatem łatwy do rozwiązania układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Mając współrzędne gradientu w tym punkcie można już łatwo obliczyć pochodną kierunkową w tym punkcie względem dowolnego wersora.