Matematyka.pl

Dobry wieczór.
Niestety znowu jestem zmuszony prosić o pomoc. Dostałem zestaw zadań i nie wiem, jak się zabrać do tego typu rozważań. Ewentualnie proszę o jakąś dobrą literaturę z tego zakresu.

Dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin(x)}\) określonej na przedziale \(\displaystyle{ [0,\frac{\pi}{2}]}\) znaleźć wielomian \(\displaystyle{ p \in \prod_{4}}\) taki, że:

\(\displaystyle{ \int_0^{\frac{\pi}{2}} |f(x)-p(x)|^2dx = \min_{q \in \prod_4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} |f(x)-q(x)|^2dx}\),

gdzie \(\displaystyle{ \prod_4}\) jest zbiorem wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych co najwyżej czwartego stopnia.


Pozdrawiam.

Oznacz sobie lepiej. Np. \(\displaystyle{ \Pi_4}\). Ale do rzeczy. Chodzi o tzw. aproksymację średniokwadratową. Najlepiej znaleźć bazę ortonormalną przetrzeni \(\displaystyle{ \Pi_4}\) i względem niej wyznaczyć współczynniki Fouriera dla sinusa. Jest na to odpowiednie twierdzenie z analizy funkcjonalnej.

Najpierw więc wyznaczy ciąg wielomianów ortogonalnych do stopnia 4 włącznie na \(\displaystyle{ \left[0,\frac{\pi}{2}\right]}\). Potem unormuj go żeby mieć bazę ortonormalną. Powiedzmy, że ortonormalne są wielomiany \(\displaystyle{ p_0,\dots,p_4}\). I czas na współczynniki Fouriera:

\(\displaystyle{ a_i=\int_0^{\frac{\pi}{2}}p_i(x)\sin x\,\dd x}\) dla \(\displaystyle{ i=0,1,2,3,4}\).

W odpowiedzi otrzymasz wielomian \(\displaystyle{ w=a_0p_0+\dots+a_4p_4}\) i on będzie rozwiązaniem zadania.

To co tutaj streściłem, znajdziesz też w każdym podręczniku analizy numerycznej czy funkcjonalnej. Względnie dobrze jest też w WIkipedii: ... roximation)

Zapomniałem powiedzieć: wszystko dzieje się w przestrzeni Hilberta \(\displaystyle{ L_2\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}\) gdzie normą funkcji jest \(\displaystyle{ \|f\|=\sqrt{\int_0^{\frac{\pi}{2}}f^2(x)\,\dd x}\,.}\)

Dziękuję za wielką pomoc. Nie miałem tego nazwanego jako aproksymacja średniokwadratowa i nawet nie wiedziałem, od czego zacząć poszukiwania materiałów. Teraz wszystko na spokojnie przeanalizuję i się wyklaruje.

Raz jeszcze dziękuję i pozdrawiam!