Matematyka.pl

Powie mi ktoś jak wyprowadzić wzór na sumę ciągu \(\displaystyle{ 1+2 ^{2}+3 ^{2}+...n ^{2}}\) i tym podobnych ciągów, np \(\displaystyle{ 1+3 ^{2}+5 ^{2}+n ^{2}}\)?

Indukcja matematyczna.

Indukcja nie służy do wyprowadzania wzorów, a jedynie do ich dowodzenia, jeżeli wiemy, lub odgadniemy, co powinno wyjść.

Jest kilka metod, chociażby metoda zaburzania, czy rachunek różnicowy, obie masz opisane, nawet w przykładzie przy metodzie zaburzania jest obliczona twoja suma.

A co do sumy \(\displaystyle{ 1+3 ^{2}+5 ^{2}+...+n ^{2}}\) ,to żeby miała sens to musi zachodzić \(\displaystyle{ n=2m+1}\) gdzie \(\displaystyle{ m \in \mathbb{N}}\), zatem dostajemy sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{m} \left(2i+1 \right)^2=\sum_{i=0}^{m}\left( 4i^2+4i+1\right)=
4\sum_{i=0}^{m}i^2+4\sum_{i=0}^{m}i+m+1}\)
a te sumy już umiesz policzyć, na końcu można przez proste podstawienie wrócić ze zmiennej \(\displaystyle{ m}\) do \(\displaystyle{ n}\).