Matematyka.pl

Witam, potrzebuję pomocy z takim zadaniem mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak to zrobić?

Metodą największej wiarygodności wyznaczyć alfa .
\(\displaystyle{ \left g(x\right \alpha)=\begin{cases} \frac{1}{ \alpha} e^{- \frac{x}{ \alpha } } dla x>0 \\ 0 poza \end{cases}}\)

Załóżmy, że mamy próbkę \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) taką, że każde \(\displaystyle{ X_i>0}\) (inaczej gęstość zeruje funkcję wiarogodności). Musimy najpierw wyznaczyć funkcję wiarogodności L:

\(\displaystyle{ L(\alpha)=g(X_1)\cdot ... \cdot g(X_n) = ...}\)

Wstawiamy gęstość tę, którą masz w treści. Mając wyliczoną funkcję L, najlepiej uprościć sobie życie, tworząc funkcję następną:

\(\displaystyle{ l(\alpha)=\ln{L(\alpha})}\).

Korzystając z własności logarytmów (np. logarytm iloczynu=suma logarytmów) upraszczamy ją, a następnie liczymy pochodną po parametrze (u nas alfa) i przyrównując ją do zera.

\(\displaystyle{ (l(\alpha))' = 0}\)

Z tego obliczymy alfę. Na końcu sprawdzamy, czy druga pochodna w wyliczonej wartości alfa jest ujemna. Jeśli tak, to jest w tym punkcie maksimum i mamy ENW.

Pozdrawiam.