Matematyka.pl

Mam problem z takim zadaniem:

Ile całkowitych rozwiązań ma równanie \(\displaystyle{ a + b + c + d = 11}\) takich, że \(\displaystyle{ a \ge 2}\),\(\displaystyle{ b \ge 3}\), \(\displaystyle{ c \ge 1, 1 \le d \le 8}\)?

Na tym forum znalazłem już podobne zadania ale te warunki, które są w treści komplikują to zadanie i przez to nie wiem jak je zrobić.

Zawsze można sprawdzać na piechotę, zacznij od \(\displaystyle{ d}\), jakie może przyjmować wartości?

Jeśli dobrze myślę, to \(\displaystyle{ d}\) może przyjmować wartości od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 5}\). Czy jest tak, że te zmienne mogą przyjmować tylko wartości \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 5}\)?

Lepiej sprawdzić wszystko po koeli, bo np. \(\displaystyle{ c}\) może przyjąć wartość \(\displaystyle{ 1}\), ale \(\displaystyle{ a}\) już nie.

Ale dobrze zacząłeś z tym \(\displaystyle{ d}\). Ja teraz bym po kolei sprawdzał dla każdego \(\displaystyle{ d}\).

Stwórz wielomian charakterystyczny


\(\displaystyle{ (x^2+x^3+....)(x^3+x^4+...)(x+x^2+x^3+...)(x+x^2+...+x^8)= \frac{x^6}{(1-x)^3}(x+x^2+...+x^{8})=x^6\left[ (x+x^2+...+x^8)\right] \sum_{i=0}^{ \infty } {i+2 \choose 2}x^i=x^7\left[ (1+x+...+x^7)\right] \sum_{i=0}^{ \infty } {i+2 \choose 2}x^i= \frac{1}{2} \cdot x^7\left[ (1+x+...+x^7)\right] \sum_{i=0}^{ \infty }(i+1)(i+2)x^i}\)

i szukaj współczynnika przy:

\(\displaystyle{ x^{11}}\)

bierzesz z kwadratowego nawiasu i ze sumy te potęgi, których suma wykładników wynosi 4

czyli masz układy:

\(\displaystyle{ (0, 4) =15}\)

\(\displaystyle{ (1, 3) =10}\)

\(\displaystyle{ (2, 2) =6}\)

\(\displaystyle{ (3, 1) =3}\)

\(\displaystyle{ (4, 0) =1}\)

sumując otrzymujesz: \(\displaystyle{ 35}\)

Szukając na piechotę za duże ryzyko, za dużo możliwości już przy tego typu równaniu, lepiej sobie opracować program na komputerze, który takie rzeczy liczy!

Zależy mi na tym żeby dobrze zrozumieć to zadanie. Próbuję więc zrozumieć prostszy przykład: \(\displaystyle{ a + b + c = 5}\).

Wyobrażam więc sobie pudełko a w nim dwie przegrody. Czyli dzielę to pudełko na trzy części. Mam również pięć kulek. Do każdej z tych trzech części wkładam te kulki. Czyli mam na przykład coś takiego: |..|.|..| (te dwie zewnętrzne przegrody nie przesuwają się)

Czyli wychodziło by na to, że taką jedną przegrodę mogę umieścić w sześciu miejscach ponieważ dopuszczam możliwość, że w jednej części tego pudełka nie ma kulek. Czyli szukam kombinacji \(\displaystyle{ C_{6}^{2}}\). Czyli wychodziło by, że takich kombinacji, a więc również możliwych rozwiązań tego równania, jest \(\displaystyle{ C_{6}^{2} = 15}\). A to jest nieprawda ponieważ takich możliwych rozwiązań jest dwadzieścia jeden. Nie rozumiem dlaczego kombinacja \(\displaystyle{ C_{6}^{2}}\) jest nieprawidłowa. Czy ktoś byłby w stanie mi to wyjaśnić?

-----------------------------------

Już chyba wiem dlaczego w powyższym rozumowaniu jest błąd. Taka przegroda może znaleźć się na jednym z siedmiu a nie sześciu miejsc. Czyli kombinacja jest taka: \(\displaystyle{ C_{7}^{2} = 21}\).

-----------------------------------

arek1357, twoje rozwiązanie jest dla mnie trochę za skomplikowane. Próbuję je rozwiązać od takiej strony:

|..|...|.|.....| (to jest sytuacja, w której \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) są minimalne)

Wydaje mi się więc, że trzeba policzyć na ile sposobów mogę przenieść cztery kulki z części \(\displaystyle{ d}\) do pudełek \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\). Niem wiem tylko w jaki sposób to obliczyć.

Wydaje mi się ,że właśnie twoje rozumowanie doprowadzi do komplikacji bo dla ostatniego przypadku jest wzór dosyć prosty sytuacja bardziej się komplikuje gdy wchodzą ograniczenia, ja natomiast zastosowałem szeregi (rozwijanie funkcji w szereg) co nie jest chyba bardzo trudne.Poczytaj sobie jeżeli zechcesz liczyć w taki sposób dowód indukcyjny wzoru na rozmieszczanie kul nierozróżnialnych w oznakowanych szufladach w dowodzie tego wzoru jest zawarte takie rozumowanie jakie chciałbyś
znać , umieć i w jakim kierunku prowadzą twoje analizy przykładu

Dostałem podpowiedź do tego zadania. Rozwiązałem je więc w taki sposób:

\(\displaystyle{ a + b + c + d = 11}\), \(\displaystyle{ a \ge 2}\), \(\displaystyle{ b \ge 3}\), \(\displaystyle{ c \ge 1}\), \(\displaystyle{ 1 \le d \le 8}\)

\(\displaystyle{ a' = a - 1}\)
\(\displaystyle{ b' = b - 2}\)
\(\displaystyle{ c' = c}\)
\(\displaystyle{ d' = d}\) (pomijam to, że \(\displaystyle{ d \le 8}\) ponieważ \(\displaystyle{ d}\) może być równe maksymalnie \(\displaystyle{ 5}\))

\(\displaystyle{ a + b + c + d - (a' + b' + c' + d') = a + b + c + d - (a - 1 + b - 2 + c + d) = a + b + c + d - a + 1 - b + 2 - c - d = 3}\)

\(\displaystyle{ 11 - 3 = 8}\)

\(\displaystyle{ a' + b' + c' + d' = 8}\), \(\displaystyle{ a', b', c', d' \ge 1}\)

Czyli jest sytuacja na przykład taka: |..|..|..|..|

Trzy przegrody mogę umieścić w siedmiu miejscach. Czyli liczę kombinację \(\displaystyle{ C_{7}^{3} = 35}\). A to jest wynik tego zadania. Nie rozumiem tylko jak to się dzieje, że te dwa równania mają taką samą liczbę rozwiązań.

Dziękuję za pomoc.