Matematyka.pl

Witam, proszę bardzo o pomoc, jak to dokładnie rozwiązać i zapisać, żeby było kompletnie poprawne matematycznie?

Pokaż, że dla każdego zbioru A zachodzi nierówność \(\displaystyle{ A \neq P(A)}\).

Wiem, że można nie wprost założyć, że A jest równe P(A), ale... no właśnie, jak to kompletnie poprawnie zapisać? Najładniej jak się da, ślicznie proszę...

Gdyby \(\displaystyle{ A=\mathcal{P} (A),}\) to \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} =\overline{\overline{\mathcal{P} (A)}}}\) czyli \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} =2^{\overline{\overline{A}} }}\) ale ostatnia równość nie zachodzi dla żadnej liczby kardynalnej.

Załóż, że \(\displaystyle{ A=P(A)}\) i rozważ zbiór \(\displaystyle{ B=\{x\in A:x\notin x\}}\), gdzie w wyrażeniu \(\displaystyle{ x\notin x}\) o "lewym" \(\displaystyle{ x}\) myślisz jak o elemencie \(\displaystyle{ A}\), a o "prawym" jako o elemencie \(\displaystyle{ P(A)}\) (co zgodnie z założeniem ma sens). Ponieważ \(\displaystyle{ B \subseteq A}\), to \(\displaystyle{ B\in P(A)=A}\), można zatem zapytać, czy \(\displaystyle{ B\in B}\).

JK