Matematyka.pl

Hej,
proszę o sprawdzenie mi zadania.
Mamy zbiór par liczbowych \(\displaystyle{ (a,b) \in Q \times Q}\). Nazwę go \(\displaystyle{ M}\). Zdefiniowane są działania:
\(\displaystyle{ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}\)
\(\displaystyle{ (a,b) \cdot (c,d)=(ac+2bd, ad +bc)}\), wszystkie elementy \(\displaystyle{ a,b,c,d \in Q}\).

Chcę pokazać, że to ciało, czyli (na razie ogólnie za pomocą \(\displaystyle{ x,y,z}\) napiszę):
1) że \(\displaystyle{ (M,+)}\) to grupa abelowa:
- działanie ma być łączne: \(\displaystyle{ (x+y)+z=x+(y+z)}\)
- ma mieć element neutralny-jedynkę \(\displaystyle{ xe=ex=x}\) (istnieje \(\displaystyle{ e}\) to samo dla każdego \(\displaystyle{ x}\))
- każdy element ma element odwrotny \(\displaystyle{ xx^{-1}=x^{-1}x=e}\) (czyli każdy ma swój indywidualny)
- abelowa, więc \(\displaystyle{ x+y=y+x}\)

2) że \(\displaystyle{ (M, \cdot )}\) to półgrupa:
- działanie ma być łączne \(\displaystyle{ (xy)z=x(yz)}\)

3) oba te działania łączy prawo rozdzielności, czyli:
- \(\displaystyle{ (x+y)z = xz + yz}\)
- \(\displaystyle{ x(y+z) = xy + xz}\)


4) pierścień ma być z jedynką, tzn:
- \(\displaystyle{ (M, \cdot )}\) ma jedynkę, czyli \(\displaystyle{ xe'=e'x=e'}\) (jedno i to samo \(\displaystyle{ e'}\) dla każdego elementu)


5) oraz pierścień ma być przemienny, czyli pytanie, czy oba działanie przemienne? Pierwsze i tak musi być, więc chyba mam sprawdzić, czy \(\displaystyle{ x \cdot y = y \cdot x}\)?



6) ciało, więc każdy niezerowy element jest odwracalny, czyli:
- \(\displaystyle{ x \cdot y=e'}\) (każdy element ma swój własny element odwrotny).


I tutaj chciałabym spytać, czy na pewno wszystko tu ujęłam; czy coś jeszcze trzeba sprawdzić, a może coś jest niekonieczne; a może coś nieścisłe?


Jeśli ok, to:

1) łączność oczywista, tylko podstawiam, element neutralny \(\displaystyle{ e=(0,0)}\), element odwrotny do \(\displaystyle{ (a,b)}\) to \(\displaystyle{ (-a,-b)}\), abelowa, oczywiste.
2) łączność się zgadza
3) prawo rozdzielności się zgadza
4) tak, jest element neutralny-jedynka, postaci: \(\displaystyle{ e'=(1,0)}\). I tutaj pytanie, czy jest jakiś oczywisty sposób na obliczenie tego elementu, czy trzeba trochę 'pokombinować'
5) tak, przemienne
6) tak, istnieje, chcę znaleźć element odwrotny do \(\displaystyle{ (a,b)}\), który po wymnożeniu przez \(\displaystyle{ (a,b)}\) da \(\displaystyle{ e'=(1,0)}\). Ten element to \(\displaystyle{ (\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}},\frac{-b^{2}}{a^{2}-b^{2}})}\). I znów pytanie, jakiś konkretny najszybszy sposób?



Będę wdzięczna za wskazówki dotyczące moich czterech pytań!

1. Jeśli pierścień ma być przemienny, to mamy na myśli przemienność drugiego działania. Tak jak napisałaś, pierwsze i tak musi być (w grupie abelowej).
2. Wypisałaś wszystkie warunki na ciało, jest OK.
3. niech element neutralny jest postaci \(\displaystyle{ e=(e_1, e_2)}\). Wtedy \(\displaystyle{ (a,b) \cdot (e_1,e_2)= (ae_1 + 2be_2, ae_2+be_1)=(a,b)}\). Stąd widać że \(\displaystyle{ e_1=1, e_2=0}\). Dla formalności należałoby także sprawdzić mnożenie \(\displaystyle{ (e_1,e_2) \cdot (a,b)}\)
4. Analogicznie - niech element odwrotny do \(\displaystyle{ (a,b)}\) będzie postaci \(\displaystyle{ (a^\prime, b^\prime)}\). Wtedy rozpisujemy z definicji działania \(\displaystyle{ (a,b) \cdot(a^\prime, b^\prime)}\) i porównujemy do otrzymanego elementu neutralnego. Z tego powinna już wyjść postać \(\displaystyle{ (a^\prime, b^\prime)}\).

Dziękuję bardzo
niebieska_biedronko

To ciało bywa oznaczane symbolem \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\).

O proszę, a jednak znalazłam błąd, w podpunkcie czwartym ma być:

4) pierścień ma być z jedynką, tzn:
- \(\displaystyle{ (M, \cdot )}\) ma jedynkę, czyli \(\displaystyle{ xe'=e'x=x}\) (jedno i to samo \(\displaystyle{ e'}\) dla każdego elementu),
a nie jak poprzednio napisałam, po ostatnim \(\displaystyle{ =}\), że będzie to \(\displaystyle{ e'}\)

Racja. Niedopatrzenie

Mam problem z punktem szóstym.

Dla każdego \(\displaystyle{ x}\) mam mieć \(\displaystyle{ y}\) że \(\displaystyle{ x \cdot y=e'}\).

\(\displaystyle{ (a,b) \cdot (a',b') = (1,0)}\)
Takie równanie muszę rozwiązać.
Rozwiązanie to: \(\displaystyle{ (a',b')=(\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}},\frac{-b^{2}}{a^{2}-b^{2}})}\), niestety odkryłam, że nie wiem, jak do niego dojść.
Proszę o pomoc

Na pewno takie ma być to rozwiązanie?

\(\displaystyle{ \frac1{a+b\sqrt2}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}=\frac{a}{a^2-2b^2}+\frac{-b}{a^2-2b^2}\sqrt{2},}\)

czyli \(\displaystyle{ (a',b')=\left(\frac{a}{a^2-2b^2},\frac{-b}{a^2-2b^2}\right).}\)

Tak, masz rację,
już nawet źle to spisałam z odpowiedzi.
Nie rozumiem jednak, skąd to wziąłeś. Podejrzewam, że głupie pytanie, no ale po prostu nie mogę na to wpaść od dłuższego czasu!

Zbiór \(\displaystyle{ \left\{a+b\sqrt2:a\in\QQ,b\in\QQ\right\}}\) ze zwykłym działaniem dodawania i mnożenia jest podciałem ciała \(\displaystyle{ \RR}\), zatem jest ciałem. Trzeba tylko zauważyć, że to jest prawie ten sam zbiór, o który pytają w zadaniu.