Matematyka.pl

Dzień dobry.

Mam pytanie do rozwiązania zadania o treści:

Wyprowadzić dwupunktowy wzór całkowania dla całek postaci
\(\displaystyle{ \int_0^1 {f(x)\sqrt{x(1-x)} }dx}\)
dokładny dla wielomianów stopnia 3.

Na ćwiczeniach robiliśmy trochę analogiczne zadanie: wzór k+1 punktowy, pierwiastek był w liczniku oraz całkowaliśmy od -1 do +1 i rozwiązanie było za pomocą wielomianów Czebyszewa I rodzaju. Do mojego zadania też był komentarz, że można zrobić z wykorzystaniem wielomianów Czebyszewa II rodzaju.

Zastanawiam się jednak nad (chyba) prostszym sposobem. Czy poprawnym rozwiązaniem będzie, jeżeli zamienię zmienne do całkowania w przedziale -1 do +1, a później skorzystam z dwupunktowego wzoru Gaussa? Tzn.
\(\displaystyle{ \int_0^1 {f(x)\sqrt{x(1-x)} }dx = \int_{-1}^1 {g(z)}dz = C_1 g(x_1) + C_2 g(x_2)=g\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + g\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}\)

Pozdrawiam.

Funkcja wagowa nie jest klasy \(\displaystyle{ C^4}\) na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\) (w punktach końcowych brak pochodnej). Tak więc nie można za bardzo korzystać z kwadratury Gaussa. Chodzi oczywiście o szacowanie błędu.

Wyjdź od postaci \(\displaystyle{ \int_0^1 f(x)\sqrt{x(1-x)}\dd x=af(x_1)+bf(x_2)}\). Skoro wzór ma być dokładny dla wielomianów stopnia do 3 włącznie, mamy 4 warunki momentowe dla jednomianów \(\displaystyle{ 1,x,x^2,x^3}\):

\(\displaystyle{ \int_0^1 x^k \sqrt{x(1-x)}\dd x=ax_1^k+bx_2^k\,\qquad k=0,1,2,3.}\)
Mamy więc układ (nieliniowy) 4 równań z 4 niewiadomymi na węzły i wagi. Napisz go i rozwiąż.

Odpowiedź:

\(\displaystyle{ \int_0^1 f(x)\sqrt{x(1-x)}\dd x\approx \frac{\pi}{16}\left[f\left(\frac{1}{4}\right)+f\left(\frac{3}{4}\right)\right].}\)
Szczegóły (zapisanie układu równań i jego rozwiązanie) zostawiam Tobie.

Inne podejście wiedzie przez wielomiany ortogonalne z wagą \(\displaystyle{ w(x)=\sqrt{x(1-x)}}\) i konstrukcję kwadratury interpolacyjnej. Oczywiście otrzymamy tę samą kwadraturę.

Dziękuję bardzo. O takim rozwiązaniu również myślałem, ale perspektywa policzenia kilku całek odciągnęła mnie w inną stronę

Pozdrawiam.

Sukces w bólach się rodzi. 10% wiedzy, 90% pracy i to ciężkiej. Nie uciekniesz od całkowania. Choćby licząc właśnie momenty (nikt nie powiedział, że to szybkie - ja sobie Maximę wziąłem). Albo przy wyznaczaniu wielomianów ortogonalnych. Cała rzecz na tym polega. Liczysz całki z względnie prostych funkcji. Ale to co najważniejsze - wiedzieć jak w ogóle konstruować kwadratury i to chciałem przekazać. Jako te 10%. Teraz pozostaje kwestia oszacowania błędu tej kwadratury. To robimy mając postać błędu odpowiedniej interpolacji wielomianowej i całkując formułę błędu wraz z zastosowaniem twierdzenia o wartości średniej dla całek. Inna metoda to zastosowanie jądra Peano tej kwadratury.