Matematyka.pl

Wykazać, że przekształcenie \(\displaystyle{ f : X \to Y}\)jest otwarte wtw gdy dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B \subset Y}\), zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}(d(B)) \subset d(f^{-1}(B))}\) gdzie d() oznacza domknięcie. Prosze o pomoc...

Z którą implikacją masz problem?

chciałbym w obie strony...

Zauważ, że jeśli dla każdego \(\displaystyle{ B \subset Y}\) zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}(cl B) \subset cl(f^{-1}(B))}\) to odwzorowanie \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest ciągłe.

W drugą stronę podobnie, zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest otwarte to \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest ciągłe, co jest równoważne z warunkiem \(\displaystyle{ f^{-1}(cl B) \subset cl(f^{-1}(B))}\).

Nieprawda. \(\displaystyle{ f^{-1}}\) nie musi istnieć.

Zgoda, mój błąd. W takim razie dodaj sobie w założeniach, że \(\displaystyle{ f^{-1}}\) istnieje i po problemie. A tak na poważnie to jutro spróbuję podać właściwy dowód.

Dowód ten znajdziesz w książce Lech Górniewicz, Roman S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, tom 1.

Wypożyczyłem ta książke ale nie widze tego dowodu...

Nie udało mi się rozwiązać, ale w Engelkingu znalazłem dla porównania zadanie "Przekształcenie \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest otwarte wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarte i dla każdego \(\displaystyle{ B \subset Y}\) zachodzi \(\displaystyle{ f^{-1}(cl(B))=cl(f^{-1}(B))}\)".

* on zakłada, że przekształcenie otwarte jest ciągłe

Dowód parę razy korzysta z faktu, że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f: X \to Y}\) i zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) jest

\(\displaystyle{ f^{-1}[ B' ] = \big( f^{-1}[B{}] \big)'}\)

oraz dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ C}\) jest

\(\displaystyle{ \mathrm{int} \, C' = (\cl C)' \\
\cl C' = (\mathrm{int} \, C)'.}\)

\(\displaystyle{ (\implies)}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest otwarte i weźmy dowolny \(\displaystyle{ x \in f^{-1} \left[ \cl B \right].}\) Wtedy \(\displaystyle{ f(x) \in \cl B.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ x \in \cl f^{-1}[ B ] .}\)
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ x \notin \cl f^{-1}[B{}] ,}\) czyli \(\displaystyle{ x \in \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B{}] \big)' = \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B'] \big).}\) Wtedy \(\displaystyle{ f(x) \in f \left[ \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B'] \big) \right].}\)

Ponieważ odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\) jest otwarte, więc zbiór \(\displaystyle{ f \left[ \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B'] \big) \right]}\) jest otwarty i

\(\displaystyle{ f \left[ \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B'] \big) \right] \subseteq f \left[ \big( f^{-1}[B'] \big) \right] \subseteq B',}\)

zatem \(\displaystyle{ f \left[ \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B'] \big) \right] \subseteq \mathrm{int} \, B'.}\) Stąd \(\displaystyle{ f(x) \in \mathrm{int} \, B',}\) czyli \(\displaystyle{ f(x) \notin \cl B.}\)

\(\displaystyle{ (\impliedby)}\)
Załóżmy, że

\(\displaystyle{ f^{-1}[ \cl B ] \subseteq \cl f^{-1}[{}B]}\)

dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ f}\) jest otwarte.
Weźmy dowolny zbiór otwarty \(\displaystyle{ U \subseteq X}\) oraz \(\displaystyle{ y \in f[{}U].}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ y \in \mathrm{int} \, f[{}U],}\) a zatem \(\displaystyle{ f[U{}] = \mathrm{int} \, f[U{}],}\) czyli \(\displaystyle{ f[U{}]}\) jest otwarty.
Istnieje taki \(\displaystyle{ x \in U,}\) że \(\displaystyle{ y = f(x).}\) Niech \(\displaystyle{ B = f[{}U]'.}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ U \subseteq f^{-1}[ f[U{}] ]}\) i \(\displaystyle{ U}\) jest zbiorem otwartym, więc \(\displaystyle{ U \subseteq \mathrm{int} \, f^{-1}[ f[{}U] ],}\) zatem \(\displaystyle{ x \in \mathrm{int} \, f^{-1}[ f[U{}] ].}\) Stąd \(\displaystyle{ x \notin \cl \big( f^{-1}[ f[U{}] ] \big)' = \cl \big( f^{-1}[ f[{}U]' ] \big) = \cl f^{-1}[B{}],}\) zatem na mocy założenia \(\displaystyle{ x \notin f^{-1}[ \cl B ].}\) Wówczas \(\displaystyle{ y \notin \cl B,}\) tzn. \(\displaystyle{ y \in \mathrm{int} \, B' = \mathrm{int} \, f[{}U].}\)