Matematyka.pl

Korzystając z tego twierdzenia, mam wykazać, że wielomian \(\displaystyle{ z^4-z^3+8z^2+11z+1}\) ma pierwiastek zespolony spełniający \(\displaystyle{ |z| \le 1}\). W oczywisty sposób widzę, jak zrobić to bez Brouwera, ale interesuje mnie jak użyć konkretnie tego twierdzenia w tym przypadku.

\(\displaystyle{ f(z) = z^4 - z^3 +8z^2 + 12z + 1}\), mamy pokazać, że istnieje punkt stały \(\displaystyle{ f(z)=z}\) - próbowałbym pokazać, że tak określone odwzorowanie przekształca \(\displaystyle{ D(0,1)}\) w \(\displaystyle{ D(0,1)}\), wówczas mielibyśmy szukany punkt stały leżący w kuli domkniętej \(\displaystyle{ D(0,1)}\), ale tego niestety nie widzę

Można przekształcić inaczej:

\(\displaystyle{ -\frac{z^4-z^3+8z^2+1}{11} = z.}\)

Funkcja

\(\displaystyle{ f(z) = -\frac{z^4-z^3+8z^2+1}{11}}\)

przekształca już koło \(\displaystyle{ |z| \le 1}\) w siebie (i jest ciągła), więc można zastosować twierdzenie Brouwera.

O kurczę, sorry za laga, ale nie wiem dlaczego o tym nie pomyślałem wtedy, dzięki!