Matematyka.pl

Takie zadanie:

Pokazać ograniczoność szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(nx)}\) dla \(\displaystyle{ x \in [\frac{\pi}{6},\pi]}\)

i \(\displaystyle{ n\in\NN.}\)

Ma ktoś jakiś pomysł?

Wykorzystaj wzór:
\(\displaystyle{ \sin\alpha\cdot\sin\beta\, =\, \frac12 \Big(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\Big)}\)

... a dokładniej przemnóż sumę \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{N}\sin(nx)}\) przez \(\displaystyle{ 2\sin\frac{x}2}\)...



Sorry za pomyłkę... już poprawiłem

Sir George, czy we wzorze nie powinno być sin(a/2)sin(b/2) ?

Chyba powinno. Dochodzę wtedy do takiego wyrażenia:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}cos(\frac{\pi}{2}-nx)-cos(\frac{\pi}{2}+nx)}\)

Nie bardzo mam na to teraz pomysł. Przekształcając doszedłem do tego, że

\(\displaystyle{ cos(\frac{\pi}{2}-nx)=sin(nx)}\)

Szczera prawda przecie.
Nie mam pojęcia jak sobie poradzić z tym, że ten kąt tak wyskakuje sobie. Wniosek, że ten szereg jest mniejszy od
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}2}\)
nie daje mi nic. Z kilku kalkulacji wynika, że nie wybiega nawet za 4.

Kontynuując myśl którą przedstawił Sir George (pomijając tę drobną usterkę z niepotrzebnym dzieleniem przez 2):
\(\displaystyle{ \sin nx \sin \tfrac{x}{2} = \tfrac{1}{2}(\cos (nx - \tfrac{x}{2}) - \cos (nx + \tfrac{x}{2}))\\
\sin nx = \frac{\cos (n - \tfrac{1}{2})x - \cos (n + \tfrac{1}{2})x}{2\sin\tfrac{x}{2}}}\)
jednocześnie \(\displaystyle{ \cos (n + \tfrac{1}{2})x = \cos((n + 1) - \tfrac{1}{2})x}\)
więc jak podstawimy za \(\displaystyle{ \sin nx}\) to co uzyskaliśmy, to suma się ciut poredukuje...

Tak. To na razie najlepszy pomysł jaki jest.
Zatem w ∞ granicą sumy tego szeregu jest:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } \frac{cos\frac{1}{2}x-cos(n+\frac{1}{2}x)}{2sin\frac{x}{2}}}\)

i teraz pozostaje pokazać, że istnieje i jest równa...

Że Suma tego szeregu jest ograniczona da się pokazać, bo n-ta Suma:

\(\displaystyle{ |\frac{sin(\frac{n+1}{2}x)sin(\frac{nx}{2})}{sin\frac{x}{2}}|\le\frac{1}{sin\frac{\pi}{12}}\le4}\)

Ale jaka jest granica tego szeregu w nieskończoności, bo wydaje mi się że istnieje.

[ Dodano: 6 Maj 2007, 22:13 ]
Żadnych pomysłów?

W pewnym sensie dobrze Ci się wydaje. Widać, że granica nie istnieje np dla \(\displaystyle{ x = 1}\)... nietrudno też pokazać, że nie istnieje dla każdego \(\displaystyle{ x \pi}\) (dla którego jest równa 0) z podanego przedziału. Jednocześnie zbieżność nie jest nam potrzebna do orzekania o ograniczoności.

Jak więc pokazać dokładniej ograniczoność sumy tego szeregu.
Mam peweien pomysł z całką, ale w fazie chaotycznych prób na razie.
Bo z tej redukcji sumy na tą chwilę też więcej nie potrafię dostrzec.

W czym problem? Przecież pokazałeś już, że wszystkie wyrazy ciągu sum częściowych utożsamianego z szeregiem są ograniczone np przez 4...

Tak. To prawda, choć wydaje mi się, że jeszcze dokładniej można by to ograniczenie pokazać. Może uda mi się dojść do czegoś więcej, to dam znać.
Bardzo dziękuję za pomoc.