Matematyka.pl

Witam mam zadanie:
\(\displaystyle{ \varphi R^{3} : R^{3}, \varphi(x,y,z)=(2x - y, x+y +2z, 3y -2z)}\)

Czy to zadanie można rozwiązać w ten sposób:

pierw warunki na liniowość:
1)\(\displaystyle{ \varphi (x+y)= \varphi(x)+ \varphi(y)}\)
2)\(\displaystyle{ \varphi (ax)= a \varphi (x)}\)

teraz tak:
1)
\(\displaystyle{ f(x_{1}+x_{2}+x_{3},y_{1}+y_{2}+y_{3},z_{1}+z_{2}+z_{3}) = (2x_{1}+2x_{2}-y_{1}-y_{2},x_{1}+x_{2}+y_{1}+y_{2}+2z_{1}+2z_{2},3y_{1}+3y_{2}-2z_{1}-2z_{2})= (2x_{1}-y_{1},x_{1}+y_{1}+2z_{1},3y_{1}-2z_{1}) + (2x_{2}-y_{2},x_{2}+y_{2}+2z_{2},3y_{2}-2z_{2})=}\)
Dalej nie wiem jak dokończyć...

2)
\(\displaystyle{ \varphi(ax,ay,az)=(2ax-ay,ax+ay+a2z,a3y-a2z)=a(2x-y,x+y+2z,3y-2z) = \\ = a \varphi (x,y,z)}\)

Proszę o sprawdzenie i pomoc.-- 28 sty 2014, o 20:38 --up

O własnie pomoże ktoś?

Drugi warunek jest ok, chociaż nie przyjęło się pisać \(\displaystyle{ a2z}\), tylko \(\displaystyle{ 2az}\).

W pierwszym warunku zaczynasz od zapisania warunku tak:

\(\displaystyle{ f(x_{1}+x_{2}+x_{3},y_{1}+y_{2}+y_{3},z_{1}+z_{2}+z_{3}) =}\)

po czym pojawiają się dalej wyrazy z indeksem \(\displaystyle{ 3}\) nie pojawiają się.

Potem rachunki są dobrze prowadzone, pytanie tylko co przedstawiają ostatnie dwa nawiasy? Jaka jest definicja \(\displaystyle{ \varphi}\) ?

tam chciałem pogrupować na te o indeksie 1 i te o 2

Nie wystarczą tylko 2 wektory?

tzn:

\(\displaystyle{ f( x_1+x_2 ,y_1+y_2,z_1+z_2)=(2x_1+2x_2-y_1-y_2,x_1+x_2+y_1+y_2+2z_1+2z_2, 3y_1+3y_2-2z_1-2z_2)=(2x_1-y_1,x_1+y_1+2z_1,3y_1-2z_1)+(2x_2-y_2,x_2+y_2+2z_2,3y_2-2z_2)=f(x_1,y_1,z_1)+f(x_2,y_2,z_2)}\)