Matematyka.pl

1) Wyznacz bazę \(\displaystyle{ B}\) i wymiar podprzestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ U}\) w \(\displaystyle{ V = \RR^{5}}\), gdy
\(\displaystyle{ U = \{(x, y, z, u, t) : x + y + z = 0, z + u + t = 0\}}\)
2) Przedstaw wektor \(\displaystyle{ w = [1, 1, 1]}\) w postaci liniowej kombinacji wektorów
\(\displaystyle{ b _{1} = [2, ,3, a]}\) i \(\displaystyle{ b _{2} = [-1, 1, 1]}\). Parametr rzeczywisty \(\displaystyle{ a}\) wyznacz z warunku współpłaszczyznowości, jedynie wtedy taka liniowa kombinacja istnieje.
3) Zbuduj macierz ortogonalną stopnia 3, czyli bazę O-N (orto-normalną w \(\displaystyle{ R ^{3}}\)) wychodząc od wektora \(\displaystyle{ w _{1} = [1, 0, -1]}\), który po unormowaniu będzie pierwszym wierszem tej macierzy – wykorzystaj szczególne własności wierszy i kolumn macierzy ortogonalnej.

Chciałbym, by mi wytłumaczono na czym polega rozwiązanie każdego z tych zadań.

Zad 2.
\(\displaystyle{ w=x _{1}b _{1}+x _{2}b _{2}}\)

Najprościej zatem będzie przyjąć \(\displaystyle{ a=3}\), wtedy do rozwiązania pozostaje układ dwóch równań, z których otrzymamy współczynniki liniowe \(\displaystyle{ x _{1 }}\) oraz \(\displaystyle{ x _{2}}\)

Zad 3.
Macierz ortonormalna składa się z wektorów o jednostkowej długości, których iloczyny skalarne są równe 0. A zatem najpierw powinniśmy przekształcić \(\displaystyle{ w _{1}}\) tak, by miał długość 1, czyli podzielić jego współczynniki przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) w tym przypadku.

Następnie należy znaleźć dwa wektory \(\displaystyle{ \left[ x, y, z\right]}\) takie, aby ich iloczyn skalarny z wektorem \(\displaystyle{ w _{1}}\) wynosił zero. Szybko więc można stwierdzić, że najłatwiejsza do wyznaczania para takich wektorów to wektor \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right]}\) oraz \(\displaystyle{ \left[ 0, 1, 0\right]}\). Można sprawdzić, że iloczyn skalarny dwóch wyznaczonych wektorów przez siebie również wynosi 0.